Salut,

J'aimerais savoir comment trouver un équivalent à (n+1)^a-n^a, avec a réel strictement positif.

Pas le droit aux développements limités, séries entières etc..

Il y a une méthode "simple" pour y arriver ?

Oui mais a est réel

a est réel Blue. Bon, ceci dit, c'est une bonne idée, ça donne une idée du résultat. ton terme, là, il ressemble presque à une dérivée, n'est-ce pas ? Ou au moins à un taux d'accroissement. Entre n et n+1 de f : x |-> x^a.

On a f(n+1)-f(n) = a*int(n,n+1,x^(a-1)dx). L'intégrande est une fonction monotone de x, croissante si a >= 1, décroissante si a <= 1. Dans tous les cas, on peut encadrer ce qu'il y a sous l'intégrale par ses valeurs aux bords. Le fait que l'intervalle d'intégration soit de longueur 1 va nous aider. Distinguons donc ces deux cas.

Si a >= 1, on a a*n^(a-1) <= f(n+1)-f(n) <= a*(n+1)^(a-1).
Si a <= 1, idem en échangeant n et n+1.

Divisant chaque terme par a*n^(a-1), on voit que le rapport (f(n+1-f(n))/(a*n^(a-1) tend vers 1 à l'infini, ce qui fournit l'équivalent recherché.

Bonne idée, merci Hachino !