Bonjour, j'aurais aimé savoir comment effectuer un changement de variables dans le cas de variables aléatoires réelles discrètes.

Par exemple, soient X et Y deux var discrètes et connaissant leurs lois et leurs lois conditionnelles, je veux déterminer la loi de X/Y.

Le problème est assez simple pour des var continues, car il suffit de passer par les densités et d'appliquer les formules, mais pour des var discrètes, c'est un mystère pour moi.

HEEELP.

Merci d'avance.

Par exemple ?

Tu peux pas appliquer tes formules en considérant que ta loi discrète est à densité par rapport à la mesure de comptage ?

(ou bien n'importe quelle somme de diracs qui convient)

Comme cela, je ne vois pas. Certes il est possible de trouver effectivement une densité par rapport à la mesure de comptage à une var discrète, mais de là à y appliquer un changement de variable… Je ne trouverai jamais seul.

Pour un exemple : Soit (X, N ) un couple de variables aléatoires réelles. On suppose que N est à valeurs dans N∗ et que, pour tout n ∈ N∗, la loi conditionnelle de X sachant N = n est une loi binomiale de paramètres n et p. Calculer l’espérance de Z = X/N.

Bon ça colle grosso-modo avec ce que je cherchais, en fait je ne sais pas faire et seule l'idée du changement de variable m'est venu en tête.
On pourrait éventuellement calculer directement P(Z=k) = P(X/N=k) = P(X=N*k), dans ce cas il faudrait sommer sur toutes les valeurs possibles de N :
P(Z=k) = sum (n=0…+infini) P(X=n*k | N=n) et on se ramènerait à la binomiale… puis on trouve l'espérance.
Je suis pas sûr que ça colle, le passage aux proba conditionnelles me semble louche… mais même si cela colle, y a pas un moyen de trouver la loi de Z par changement de variable ?

Euh si tu conditionnes comme ça faut pas multiplier par P(N=n) ?
Par contre par changement de variable je vois pas trop dans ce cas...
Sinon j'ai ça (je garantis pas que c'est juste, j'suis fatigué) :
E(X|N=n) = np (espérance d'une B(n,p)).
Donc E(X|N) = pN.
E(X/N) = E[E(X/N | N)] = E[1/N E(X|N)] = E(1/N * Np) = p.

Bon si c'est juste ça répond qu'à ton exemple et pas à ta question générale...

Je vois pas comment on peut résoudre ce problème sans la loi de N.

Ah ok y'a des astuces avec l'espérance.

Oula, ouais j'ai fait n'importe quoi.

Par contre je saisis pas trop ton astuce, tu fais la formule de l'espérance totale ? Tu sommes sur X à N fixé puis sur N ?

Ça m'a l'air d'être cela.

Merci en tout cas, je mourrai moins bête.

Et je réfléchirai sur le changement de variable ultérieurement.

J'utilise le fait que l'espérance c'est l'espérance de l'espérance conditionnelle, puis que si Z est une fonction de X, alors E[ZY|X] = Z*E[Y|X].
Bon courage pour le changement de variable.

J'ai retrouvé ta formule dans mon poly de compléments sur les probas

Mais la "logique" de cette formule est bien dans la double somme, que je me sauve la face.

Euh je sais pas comment tu as abordé ça mais pour moi c'est une conséquence directe de la définition de l'espérance conditionnelle.

Je regarde juste en terme de somme et de moyenne, je moyenne selon les valeurs de X les différentes moyennes de Y sachant X.
C'est comme pour avoir P(B), P(B) = sum(k=0…+infini) P(B|A=k)P(A=k), on s'en sort en créant une partition de l'univers.

Mais oui ça doit revenir à la définition de l'espérance conditionnelle, mais comme on a fait ce passage un peu rapidement, autant se ramener à un truc qui m'est plus familier, ou qui l'est du fait que l'espérance conditionnelle ne l'est pas (alors que c'est quasiment pareil).

Je m'embrouille, je fatigue.

Bonne nuit. ^^

Et magie magie, beaucoup d'espérance conditionnelle à mon exam'.
Mais c'était plus simple. ^^