Bonjour j'ai un gros problème avec un dm de math et je sollicite votre aide svp.

Voici l'enoncé:

Soit P(z)= z^4 - 8z^3 + 26z^2 - 72z + 153

le but est de factoriser P dans C

Indications :
1. On cherchera d'abord des racines de P imaginaire pures
2. Puis on factorisera P par un polynôme du second degré
3. On peut aussi s'aider du logiciel Xcas 9.9 et de la commande cfactor ( j'imagine que cette etape est optionnelle et que c'est juste car mon prof aime utiliser des logiciels mathématique )

=> En déduire aussi une factorisation de P dans R

Alors le gros problème c'est que je sais pas comment gérer le calcul et quelle marche suivre surtout avec le degré 4 , c'est la premiere fois que notre prof nous donne un exercice de ce type.

Pour le moment j'ai pensé à remplacer les Z par x + iy puis à isoler les imaginaires pur mais le degré 4 gène toujours pour la suite.

Je serais très heureux si vous pouviez m'aider , merci d'avance

il faut pas isoler les imaginaires purs mais justement la partie réelle

z^4 - 8z^3 + 26z^2 - 72z + 153

Pour z = iy
y^4 + 8iy^3 - 26y² - 72iy + 153 = 0

Donc tu cherches y tel que 8y^3 - 72y = 0 et c'est à dire y = 0 ou y = 3 ou y = -3

Et tu regardes pour chacune de ces valeurs si y^4 - 26y² + 153 = 0

normalement t'en auras 2 sur 3 qui fonctionnent

comment ça ? moi j'partais sur remplacer z par x + iy et apres tomber sur une forme type X + i ( Y )

E etant les reels et Y les imaginaires mais apres ça j'vois pas comment proceder

Soit ix un imaginaire pur.
Alors P(ix)=0 <=> x^4+8ix^3-16x²-72ix+153=0 <=> x^4-26x²+153=0 et 8x^3-72x=0 puis tu trouves les x qui conviennent.

Ok trop lent...

Merci beaucoup pour l'aide mais mon prof m'a jamais montré votre méthode ,
Pouvez vous me dire pourquoi vous séparez ^4-26x²+153=0 et 8x^3-72x=0 et pourquoi on à le droit de le faire ? ( excusez moi si j'en demande trop :x )

Parce X + iY = 0 <=> X = 0 et Y = 0

parce que*

Ah oui éffectivement en j'vais oublié que iy² se simplifiait en -y mais il me semblait que z = x + iy or ici on remplacer z par uniquement iy , qu'en est-il du x ?

On te dit de d'abord chercher les solutions imaginaires pures. Un imaginaire pur c'est un nombre de la forme ix, avec x réel.

Ok merci de l'explication , pour trouver les racines étant donné le degré 3 comment on procède svp ?

Pour la factorisation ensuite j'utilise le fait qu'il existe un polynome Q tel que P ( z ) = ( z - a ) Q ( z ) avec a une racine c'est ça ?

Si je ne m'abuse tu obtiens 2 racines avec la méthode z = iy

Pour résoudre 8x^3-72x=0 ? Là je te laisse réfléchir 2 secondes c'est pas bien dur.

Après oui tu pourras factoriser P(z) sous la forme (z-3i)(z+3i)Q(z), avec Q polynôme de degré 2.

pour le coup de a factorisation j'ai une methode par contre vu que c'est dans R.

Il faut que je mette P ( z ) sous la forme p ( z ) = X + iY ( donc les parties que vous avez déjà separer )

j'en fais un systeme a et b et j'verifie les racines pour chacun ça me fait que l'unique racine valable pour les deux est 3 donc.

donc P factorisable par z - 3i et là j'fais une division euclidienne et ce qui en suit pour en arriver à la forme factorisée dans R

Par contre je suis encore désole de mon incompetence mais j'vois vraiment pas comment trouver la racine d'un cube ^^'

8x^3-72x=0 <=> 8x(x²-9) = 0 <=> x = 0 ou x = 3 ou x = -3.

3 et -3 satisfont l'équation x^4 - 26x² + 153 = 0, mais pas 0.
Donc on retient les solutions 3i et -3i. On factorise donc P par (z+3i)(z-3i).

ok encore merci je te suis très reconnaissant pour ta patience et ton aide précieuse !

me reste plus qu'a mettre tout ça dans l'ordre et au propre

Up

Excusez moi mais vous pouvez me dire pour la division euclidienne si j'ai le droit de dire que (z+3i)(z-3i)= z^2+9 et donc de diviser par z^2+9 ce qui est plus simple et me permet de retomber sur un polynome Q de degré 2 arrangeant ?

Bien sûr. Par contre dans ta réponse finale il faudra remettre ça sous la forme (z-3i)(z+3i) parce qu'on te demande de factoriser dans C.

Ok merci :')