Apres avoir calculer le polynome caracteristique, si on arrive a le scindé en racine simple, c'est trigonalisable ?
C'est la seule condition ?

Pour la diagonaliser, faut que la dimension de la valeur propre soit egale a la multiplicité algébrique de la valeur propre + polynome scindé ?
Donc pour diagonaliser, on fait fou les valeurs propre dans la matrice et le reste on met des zero

Mais pour trigonaliser, on fait comment ?

Si le polynome caractéristique est scindé alors ta matrice est trigonalisable (CNS) donc le polynome caractéristique doit être scindé pour que ta matrice soit diagonalisable (condition nécessaire)

Si le polynome caractéristique est scindé à racines simples alors ta matrice est diagonalisable (condition suffisante)

Si le polynome caractéristique est scindé à racines multiples la matrice est diagonalisable si et seulement si la multiplicité de chaque racine est égale à la dimension de l'espace propre correspondant

d'accord, et ensuite pour trigonaliser on fait comment ?

on met les valeurs propre sur la diagonale et on "remplit" comment le reste de la matrice ?

+ Si le det d'une matrice d'une appli lineaire est nul ça veut dire que l'appli est isomorphe ? ou l'inverse ? Je sais plus trop comment on peut prouver avec une matrice si c'est iso, epi, mono... (si c'est iso + endo c'est automorphe, ça ok )

c'est difficile de trigonaliser une matrice (va voir du côté de la réduction Jordan-Dunford)

déterminant nul = pas inversible

désolé double post.

pour calculer la trace, c'est juste la somme sur la diagonale ? Mais faut que la matrice soit diagonale pour ça, on peut pas le faire sur une matrice 3x3 avec aucun zéro ?

et le déterminant ça marche que pour une matrice carrée donc un endomorphisme

ahh oui voilà det nul = pas inversile, donc pas isomorphe c'est ça ?

si c'est = 0 ça veut dire que f est bijective, donc f(base) = base, l'appli est une isomorphisme, et forcément automorphisme

La trace c'est la somme des coefficients diagonaux de la matrice, et ce dans n'importe quelle base. Ca donne toujours le même résultat

Donc si la matrice est trigonalisable/diagonalisable c'est la somme des valeurs propres avec leurs multiplicités

si c'est = 0 ça veut dire que f est bijective, donc f(base) = base, l'appli est une isomorphisme, et forcément automorphisme

si c'est DIFFERENT de 0

oui c'est ce que je voulais dire désolé je faisais un autre truc en meme temps

merci bien !