Bonjour c'est encore moi

J'ai beau lire mon cours je ne comprend pas réellement ce qu'est une permutation.
Je viens dans l'espoir que quelqu'un puisse m'aider...

J'ai un exercice à faire :
" On dispose d'une liste de n éléments distincts dans un ordre donné.
Pour k et n entiers naturels tels que O [smb]infegal[/smb]k[smb]infegal[/smb]n et n[smb]supegal[/smb]1. On note I(k,n) le nombre de permutations de ces n éléments, qui laissent k éléments aux positions qu'ils occupaient initialement dans la liste.
Par convention on pose I(0,0) = 1

a) Montrer que : I(k,n) = (k parmi n). I(0, n-k)

La je ne comprend pas du tout

Il y a d'autres questions mais j'aimerai déjà comprendre celle la...

Pardon :
" On dispose d'une liste de n éléments distincts dans un ordre donné.
Pour k et n entiers naturels tels que 0 inférieur ou égal à k inférieur ou égal à n et n supérieur ou égal à 1. On note I(k,n) le nombre de permutations de ces n éléments, qui laissent k éléments aux positions qu'ils occupaient initialement dans la liste.
Par convention on pose I(0,0) = 1

a) Montrer que : I(k,n) = (k parmi n). I(0, n-k)

Si tu laisses fixe exactement k éléments, faut d'abord choisir lesquels tu laisses fixes. T'as (k parmi n) façon de le faire. Ensuite les k-n éléments restants doivent tous bouger (puisque t'en fixes k, pas plus), et là t'as l(0,n-k) façon de les bouger, par définition.

Mais pour I(0, n-k) ? Pourquoi "0" ?

0 parce que dans les n-k restants, aucun ne doit rester fixe !

Ah, en fait I(0, n-k) veut dire aucun element appartenant à n-k ne doit rester fixe ?
Donc par exemple I(i, n-k) voudrait dire i element de n-k doit rester fixe ?

(On a vu la permutation trè vite fait au dernier cours, on s'est arrété là donc on a pas vu cette notation avec I)

Oui : "On note I(k,n) le nombre de permutations de ces n éléments, qui laissent k éléments aux positions qu'ils occupaient initialement dans la liste. "

Donc I(0,n-k) c'est le nombre de permutations de n-k éléments qui ne laissent fixe aucun élément.

D'accord, ok merci je comprend mieux !

La qu b) c'est : en déduire que Sigma de k=0 jusqu'à n de (k parmi n) . I(0, n) = n!
Tu peux juste me mettre sur la piste ? Après le reste j'essaierai de me débrouiller

n! c'est le nombre total de permutations.

Donc n! = l(0,n) + l(1,n) + ... + l(n,n). Je te laisse voir pourquoi et conclure.

I(0,n) on fixe 0 élément de n, I(1,n) on fixe un element de n et n-1 elements doivent bouger, etc... I(n,n) on fixe n éléments de n donc aucun ne bouge.
Enfin je sais pas où cela me mène ...

Si tu prends une permutation de n éléments, quelconque, soit elle fixe 0 élement, soit elle en fixe un seul, soit 2, ..., soit n. On peut donc partitionner l'ensemble Sn des permutations comme la réunion disjointe des ensembles des permutations qui fixent k éléments.
Donc "le nombre total de permutation" = "le nombre de permutation qui fixent 0 élément" + "le nombre de permutation qui fixent 1 élément" + ... + "le nombre de permutation qui fixent n éléments".

Si on traduit ces nombres par leurs expressions :
n! = l(0,n) + l(0,1) + ... + l(0,n). Ensuite il suffit d'utiliser la question précédente avec un petit changement d'indice.

Je comprend
Mais tu le mets ou le (k parmi n) ??
C'est sigma de k=0 jusqu'à n de (k parmi n) . I(0,k) = n!

Désolé je me suis trompé, je voulais dire n! = l(0,n) + l(1,n) + ... + l(n,n). Et là tu peux utiliser la question d'avant.

O je vais essayer de terminer cette question, il y en a 4 en tout je te dirai si j'ai réussi. Merci pour ton aide !
Bonne soirée

De rien, bonne soirée.