Bonjour, je suis en première S et on m'as donné un exercice pas très compliqué mais où je bloque à une question :
On considère la fonction f définie sur R par f(x) = -x + 1 si x<0 et f(x)= -x - 1 si x > ou = à 0
On donne ci contre la courbe représentative C de la fonction f dans le repère (O,I,J). On appelle g la fonction définie par g=1/f.
(Le tableau représente une droite en 2 parties, avec l'une qui à -1 donne comme image 2/-2 l'image 3 etc... et l'autre qui à 0 donne -1/ à 1 donne -2 etc...)
1) Justifier que la fonction g est définie sur R.
2) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur R
3) Calculer les images de -2 et 1. La fonction g est-elle strictement croissante sur R ?
4) Étudier les variations de g sur chacun des intervalles ]- infini; 0[ et [0; + infini[

Voici mes réponses :
1) Comme f est définie sur R et que la courbe ne passe jamais par y=0 g est défini sur R
2)Étude des 2 intervalles qui montre que -a+1/-a-1 est > ou = à -b+1/-b-1 F est décroissante sur R.
3) g(1) = -0.5 et g(-2)= 1/3.
C'est à partir d'ici que je bloque. Vous pouvez m'aider ?

La 1ère c'est bon mais il vaut mieux écrire "pour tout x de R, f(x) =/= 0 donc...".

La 2ème j'ai pas tout compris ce que tu as fait... Prises indépendamment il est évident que les deux droites sont décroissantes mais pour que la fonction le soit aussi, il faut vérifier que la première est "toujours au-dessus" de la seconde. Ce sera la même chose pour g après.

Bah sur le graphique, la droite de ]- infini; 0[ est au dessus de celle de [0; + infini[. C'est donc bon non ?
Et la deuxième partie de la question 3 je la comprends pas.... et la 4 non plus d'ailleurs.

Personne ?

Oui c'est bon mais il faut le dire ! Tu sais te servir de limites sinon ?

D'accord !
De limites? J'ai jamais vu ça en cours.
Mais je ne comprends pas à partir de la deuxième partie de la question 3, tu peux m'expliquer ?

Je veux bien essayer de t'expliquer oui !

Les fonctions composées, tu as vu ?

Non plus. :/
Nan, je parle de la question 3. Si je ne l'ai pas vu en cours t'auras beau me l'expliquer 50 fois je comprendrais pas.

Le problème c'est que je vois mal comment t'expliquer cette question sans rien de tout ça !

Pour faire simple, vu que la fonction x -> 1/x est décroissante, si une fonction est croissante sur un certain intervalle, alors l'inverse de cette fonction sera décroissante sur ce même intervalle. Et si la fonction est décroissante, alors l'inverse sera croissante.

Donc pris indépendamment, les deux bouts de g sont bien croissants.

Après c'est la même histoire que pour les droites, il faut vérifier pour que g soit bien croissante que la première partie de la fonction est bien toujours en-dessous d'la seconde partie, tu vois ?

Pour ça, je vais pas te parler de limite mais il faut vérifier qu'en 0 avec la première formule c'est bien inférieur qu'en 0 avec la seconde formule, ce qui est le cas, et c'était de toute façon évident puisqu'on avait déjà vérifié ça avant d'inverser.

Mais 0 n'est compris que dans un seul intervale... pourquoi avec les 2 alors ?
Ah et pour la deuxième partie de la question 3, ce que je comprends pas c'est comment pour déduire si la fonction g est strictement croissante sur R ou non à partir de g(-2) et g(1) ?

"Mais 0 n'est compris que dans un seul intervale... pourquoi avec les 2 alors ?"

Quand tu calcules avec la formule qui ne comprend pas 0, en fait tu calcules une limite. Ce qu'il faut juste comprendre, c'est que t'obtiens un point tel que toute la première partie de la courbe est en-dessous de ce point. Donc, si après ce point est lui-même en-dessous du point le plus bas de la deuxième partie de la courbe, c'est gagné !

Et sinon tu ne peux pas déduire la réponse de ces résultats, c'est juste pour te donner une idée.

Du coup je dois adopter quel raisonnement ? Comme f est décroissante sur R alors g est croissante sur R ?
Mais alors à quoi sert la dernière question si la réponse est donnée à la 3 ?

Remarque très juste !

Je me suis cassé la tête pour t'expliquer qu'il fallait effectuer une vérification (le coup de 1ère partie toujours en-dessous de la 2ème), mais je ne l'ai même pas faite correctement !!

Et en fait, tu peux bien déduire la réponse à la question 3 de tes résultats pour g(-2) et g(1).

Tu as g(-2) = 1/3 > g(1) = -1/2.

La fonction est-elle donc croissante sur R ?

Je dirais non, vu que 1/3 > -1/2... c'est ça ? ^^'

Exact, si en -2 on est plus haut qu'en 1, c'est bien qu'on est obligés de descendre entre les deux, donc ça peut pas être croissant !

Et ma vérification ça marchait en fait puisque ça donnait 1 et -1. Mais tu n'en as pas besoin en fait c'est encore plus simple ! Désolé si je t'ai embrouillé lol

C'est rien ! ^^
Du coup c'est décroissant car 1/3 > -1/2.
Et la question 4 on étudie les variations donc c'est bon.
Mais alors pourquoi c'est décroissant ?

Ah non !! Attention ! Ce n'est pas décroissant ! Ce n'est pas croissant sur R, c'est tout.

En fait, si tu as compris un peu ce que j'ai essayé de t'expliquer, ça va être croissant sur ]-oo ; 0[, puis en 0 ça va descendre brusquement et valoir -1 et enfin ce sera à nouveau croissant sur [0 ; +oo[.

Ah d'accord ! Bah merci pour ton aide ! ^^

De rien