Salut,

J'ai du mal à trouver un exo

On a f une fonction mesurable de E dans R+ union +{+infini) qui est T mesurable.

A la 1ere question on montre que f(-1) ( R+) est dans la tribu T . On peut écrire R + comme l'union des [0,n] pour n>=1 qui appartient à la tribu donc f(-1) ( R+) appartient à la tribu.

f(-1) ({+infini}) aussi car c'est le complémentaire de R+ ( Stabilité par complémentaire etc)

Mais comment montrer que f(-1)({a}) appartient à la tribu alrs que 0<=a<b<+ infini.

Même chose avec l'intervalle [a,b] , ]a,b[ et ]a,b]

Merci d'avance

C'est quoi la tribu en question ?

une tribu de partie d'un ensemble E. f est une fonction quelconque de E dans R+ union +(infini}

Et sur R+ c'est la tribu borelienne ?

On précise dans l'énoncé que f est T-mesurable si pour 0<=a<b<+infini f(-1) ([a,b[)) appartient a T.

Ok c'est bien les boreliens alors. Tu dois donc essayer d'écrire les singletons comme intersection dénombrable d'intervalles de la forme [a,b[.

Après tu pourras en déduire facilement le reste.

Ah oui en effet merci

Si j'ai une fonction positive mesurable de E dans R+ qui s'écrit comme combinaisons linéaire d'indicatrice d'ensemble inclus dans E disjoint comment montrer que ces ensembles sont dans la tribu

Il suffit de dire qu’indicatrice d'un ensemble A <=> A mesurable ?

Si f est la somme des c_i * 1_(A_i), alors A_i est l'image réciproque de {c_i} par f. {c_i} étant mesurable (si R+ est muni de sa tribu borélienne, mais je pense que c'est le cas), et étant une fonction mesurable, alors A_i est mesurable.

Ok je vois merci . Et si un des A_i n'appartient pas à la tribu la fonction n'est pas mesurable.

La fonction est mesurable par hypothèse, ce que tu dois montrer c'est que les A_i sont mesurables non ?
Alors écrire A_i = f^(-1)({c_i}) est suffisant.