Salut,

J'ai rien compris à la cette notion . Quelqu'un pourrais m'expliquer cette notion .

c'est tout simple : tu prends par exemple fn(x) = x^n sur [0,1]

et tu veux étudier la convergence simple de la série (fn)

Alors tu choisis x dans [0,1] et tu regardes la limite quand n tend vers l'infini de x^n : si x € [0,1[, fn(x) = x^n -> 0
si x = 1, fn(1) = 1^n = 1->1

donc la suite (fn) converge simplement vers la fonction f définie par : f(x) = 0 si x € [0,1[ et f(1)= 1

la convergence simple de la SUITE (fn)

de maniere generale la convergence simple ne fait pas intervenir de norme, mais se fait terme a terme : pour les fonctions par exemples, ...

et pour avoir la convergence uniforme il faut en plus avoir la convergence avec les normes
voila en gros et l'exemple d'iv555 illustre bien la convergence simple (terme a terme)

Ok alors un exemple concret svp :

fn(x) = arctan( x / n ) / n

Montrer que La serie fn(x) converge simplement Sur R

Si x = 0 pas de problème.
Si x non nul, arctan(x/n) ~ x/n (quand n tend vers l'infini), donc arctan(x/n)/n ~ x/n², donc la série converge.