Bonjour !

Voilà, dans un exercice, une question me paraît évidente alors qu'elle fait l'objet de plusieus questions. Du coup je me demande si elle est vraiment aussi évidente que je le crois.

On nous demande de prouver qu'une fonction f réalise une bijection de R+ sur ]0,1].

Puis on nous demande de prouver que f(x)=x admet une unique solution sur R+.

Puis que cette solution appartient à ]0,1].

Mais vu que f est bijective sur R+, on peut pas dire direct qu'il existe une unique solution sur R+ pour f(x)=x, et que comme f est de plus bijective de R+ sur ]0,1] que cette solution appartient à ]0,1] ?

Je ne comprends pas ce qu'il faut faire autrement, à part introduire une fonction qui à x associe f(x) - x , ce qui me paraît compliqué vu la définition de f...

Merci !

Non ce n'est pas du tout évident juste avec l'hypothèse bijective (d'ailleurs c'est faux). Dans ton cas ça marche parce que f doit être continue (ou monotone, les deux hypothèses sont équivalentes ici).

J'ai pas de contre-exemple simple sous la main, mais si tu as déjà vu la fonction exponentielle, tu peux considérer la fonction f:x->exp(-x) sur R+ qui réalise une bijection entre R+ et ]0;1]. Si tu traces sa courbe et la droite d'équation y=x, tu vois qu'elles ont un point d'intersection, qui est l'unique solution de x=f(x). Considère maintenant un réel t=/=x et "intervertis" les images de t et de x. Tu vas obtenir une nouvelle fonction bijective de R+ dans ]0;1] mais cette fois l'équation x=f(x) n'aura aucune solution.

Et quelle est cette fonction f?

Morphisme > En effet, la monotonie suffit ici, mais c'est parce que le fait que 0 soit exclu de l'ensemble d'arrivée impose f(0) = 1 et f tend vers 0 en +infini, donc f décroissante

Ce que je voulais dire c'est que vu qu'on a f bijective et que Im(f) est un intervalle, on a f continue <=> f monotone

Tout d'abord, il faut prouver que la fonction f est bien continue.
Vérifie ensuite qu'elle est monotone (étudie son sens de variations en dérivant)
Fais un tableau (oui ça aide)
Ensuite, calcule les images f(1) et f(0) tu devrais trouver une alternance de signe.

En gros, si la fonction est strictement croissante ou décroissante sur [0, + l'inf[, et qu'il y a une alternance de signe: la fonction réalise une bijection, et il y a une seule solution à l'équation f(x)=0 étant donné qu'elle ne coupera qu'une seule fois l'axe des abscisses.

En espérant t'avoir aidé

En relisant le post de l'auteur, je pense que je suis hors sujet, j'ai mal compris la question apparemment, désolé

Moi j'aurais considéré g(x)= f(x)-x
Puis étudié son sens de variations

étudier*

1. Morphisme Voir le profil de Morphisme
2. Posté le 30 octobre 2012 à 23:35:35 Avertir un administrateur
3. Ce que je voulais dire c'est que vu qu'on a f bijective et
4. que Im(f) est un intervalle, on a f continue <=> f monotone

Oui, je ne suis pas revenu sur ce point ("Im(f) est un intervalle" n'est même pas une hypothèse nécessaire, c'est une conséquence de la continuité).

Je disais juste que ça ne permet pas de conclure facilement à l'unicité de la solution de f(x) = x
Si f est décroissante, c'est bon, mais si f croissante, tu ne peux rien conclure

Merci pour vos réponses.

Oui, j'avais également considéré au départ une fonction g : x -> f(x) - x qui permet de prouver l'unique solution, mais comment procéder ensuite pour prouver que cette unique solution appartient à ]0,1], sachant que la seule valeur de f calculable est celle en 0 (qui vaut 1 vous l'aurez compris) ?

Après en avoir discuté avec des camarades qui ont eux utilisé le seul argument de la bjection de f uniquement je me suis posé des questions, mais j'avoue ne pas bien comprendre comment l'utiliser ici. Et je n'ai pas bien compris l'argument de la continuité. La fonction (et sa réciproque) sont a fortiori continue car bijective non ? Je ne vois pas pourquoi cela rendrait l'argument de la bijection de f valable, si vous pouviez m'éclairer....

Merci !

Tu dis toi-même que f est à valeurs dans ]0;1], donc f(x)=x€]0;1].
Une fonction bijective n'est pas forcément continue. Et ici, si tu supposes simplement f bijective, tu ne peux pas conclure à l'existence du point fixe. Mais à vrai dire, sans données plus précises sur f, c'est chaud de t'aider parce que les hypothèses que tu as données ne permettent pas de conclure.

Merci.

La fonction bijective est elle forcément continue et c'est la réciproque qui ne l'est pas forcément non ? Si f est bijective de I sur J, la réciproque est continue sur J non ?

A vrai dire on a prouvé que f réalisit une bijection continue strictement décroissante de R+ sur ]0,1], mais j'avoue que je considérais ça comme immédiat selon les définitions et propriétés de la bijectin (celle citée plus haut et le fait que la réciproque a le même sens de variation que la fonction bijective). Mais si je fais une erreur sur ce point, je comprends mieux pourquoi je ne comprends pas la suite !

Pour prouver f bijective j'ai dû prouver qu'elle était continue et strictement décroissante et réalisait une bijection de R+ sur ]0,1] et donc que sa réciproque était continue et strictement décroissante sur ]0,1]. Je ne comprends donc pas le problème de la continuité. Il faut rajouter quelque chose ?

Merci !

Non juste avec la bijectivité tu ne peux rien dire sur la continuité ni de la fonction, ni de sa réciproque.
Prends une fonction bijective et continue et intervertis l'image de deux points. La nouvelle fonction est également bijective, mais n'est plus continue.

Ce que j'essayais de te dire avant, c'est que tu nous avait seulement dit que f était bijective, et que juste avec cette hypothèse on ne peut pas conclure qu'il existe un unique x vérifiant f(x)=x. Mais maintenant tu as donné des hypothèses suffisantes, donc inutile de perdre du temps là-dessus.

Je ne vois pas bien pourquoi tu parles de la réciproque, ça ne sert à rien d'en parler pour prouver ton résultat. Le plus simple est en effet de considérer la fonction g: x->f(x)-x et de prouver qu'elle s'annule sur R+, et que cette annulation ne se produit qu'en un unique point vu que g est strictement décroissante.

Hum, oui en effet, je passe pour un gogole ... Non bien sûr j'ai considéré — trop rapidement — comme évident que si f était bijective c'est qu'on avait prouvé avant sa continuité et sa stricte monotonie, désolé.

Mais donc désormais, comme tu le dis toi-même la question est évidente non ?
f réalisant une bijection continue strictement décroissante de R+ sur ]0,1], il existe un unique réel x dans R+ tel que f(x) = x. Ou faut-il, comme tu me le dis après, quand même introduire la fonction g ?

Et pour prouver que l'unique solution dans R+ appartient à ]0,1] il suffit bien de dire que f est à valeurs dans ]0,1] ?

Merci encore, et désolé pour ma lenteur de compréhension sur un truc aussi basique. :p

Non ce n'est pas évident , ça demande une démonstration (à part si tu peux exhiber directement la solutîon en question, ce qui n'est apparemment pas le cas ici).

Et oui, vu que f(x) est dans ]0,1] et que f(x)=x, x est dans ]0,1].

Je pense que le plus simple est de passer par les valeurs intermédiaire pour montrer l’existence d'une solution u telle que f(u) = u.

Ensuite tu montre l'unicité:

si x<u, f(x) > f(u) = u > x donc x n'est pas solution
si x>u, .......

Ça aurait quand même été plus simple de nous donner l’énoncé...