Exercice 1

Soit une suite U définie pour tout n > (ou égale) à 2 par

Un = (1-1/4)*(1-1/9)*(1-1/16)*...*(1-1/n²)

Construire un algorithme permettant Un pour tous les n
Je n'y arrive pas trop

Conjecturer le sens de variation et le comportement à l'infini de la suite U
Alors la suite U est décroissante et tend vers 1/2

Démontrer que U(n+1) = Un*((n(n+2)/(n+1)²))
Je bloque encore la dessus puis sur le suivant

Démontrer que Un = (n+1)/2n

Exercice 2
Il est composé en deux partie
Une partie où on veut démontrer qu'il existe un rang N tel que Un > L

Pas la peine de la faire

Partie B

Soit une suite Un qui modelise le nombre n de téle dans les maison (en Million) en fonction de l'année 2005 + n par la suite u définie par Uo = 1 et pour n > 0

U(n+1) = 1/10*Un(20-Un)

Soit la fonction f definie sur [0;20]
f(x) = 1/10*x(20-x)

Etudier les variation de f sur [0;20]
En déduire que pour tout x e [0;20], f(x) e [0;10]
On la dérive on voit le signe
f est croissant sur [0;10] et décroissant sur [10;20]
10 est son maximum
Elle varie entre 0 et 10

Montrer par RÉCURRENCE que pour tout n e N
0 <(ou égale) Un < U(n+1) < 10
JE sais le prouver mais pas pas récurrence

Montrer que le suite u est convergente et déterminer sa limite
Il faut démontrer la question précédente
Elle est majoré en 10 et croissante alors elle converge vers un réel L qui est 10

Bonjour, s'il-vous-plaît, merci, au revoir.

Personne

Si tu ne fais aucune preuve de politesse , personne risque de te répondre ....

SVP

Je bloque vraiment sur le premier

Merci pour vos réponse

J'ai fini l'exercice 2

j'ai prouver par recurrence

Soit p(n) la proposition 0<U0<U1<10

Uo = 1
U1 = 1.9

0<1<1.9<10

Supposons que p(k) est vrai soit 0<Uk<U(k+1)<10

U(k+1) = 1/10*Uk*(20-Uk)

Comme la fonction est comprise entre 0 et 10
On a 0<f(Uk)<F(U(k+1)<10

Il me manque plus que l'exo 1

Désole pour manque de politesse

u(n+1) = u(n)*(1 - 1/(n+1)²), par définition.

Ensuite il suffit de réduire 1 - 1/(n+1)² au même dénominateur pour obtenir l'expression recherchée.

Puis un raisonnement par récurrence permet d'en déduire que u(n) = (n+1)/2n.

Pour le 1
J'ai fait l'algorithme c'est bon. Je vois qu'elle va bien vers 1/2

Alors oui j'y avais pas pensé Merci

Donc U(n+1) = (1-1/n²)*U(n)
U(n+1) = (n²-1)/n²*U(n)
Je ne vois pas en quoi (n²-1)/n² = (n(n+2))/(n+1)

Je ne sais pas trop faire lé récurrence

Initialisation de P

Soit P(n) la proposition 1-1/n² = (n+1)/2n
Soit P(2) la phrase 1-1/2² = (2+1)/2*2
1-1/4 = 3/4
3/4 = 3/4

P(2) est vrai

Heredité de P

Pour un certain entier k >=2, on suppose que P(k) est vrai c'est à dire que U(k) = (k+1)/2k = 1-1/k²

P(k+1) = ((k+1)+1/2(k+1) = 1-1/(k+1)²
(k+2)/(2k+2) = 1-1/(k+1)²

Je bloque dans cette étape

Merci pour vos réponses

Relis ce que j'ai écrit, tu pars avec la mauvaise expression de u(n+1).

Jsuis trop bête j'avais la solution sous les yeux depuis le début
Heureusement que tu m'a aidé

Et pour ta reccurence, c'est pas ça qu'il faut montrer.