Bonjour !

Je dois montrer que la fonction f qui à x associe l'intégrale de 0 à + infini de [ exp(-(1+t²)x²) / (1+t²) ]dt est définie sur R.
Je dois donc vérifier que l'intégrande est continue et intégrable (est-ce suffisant ?).

Pour la continuité aucun problème, par contre pour l'intégrabilité j'ai un peu de mal.

D'habitude pour montrer qu'une telle fonction était intégrable, on prenait l'intégrande puis grâce à des équivalents ou majorations de fonctions qui étaient elles intégrables, on concluait que la fonction de départ l'était.

Mais là c'est différent, j'ai " deux " variables si vous voyez ce que je veux dire, et j'aimerais savoir comment m'y prendre pour montrer qu'elle est intégrable, car niveau majoration de l'intégrande je peux me retrouver avec x parcourant R et t parcourant R+...

Merci.

Tu peux voir x comme un paramètre réel et t comme une variable muette.

Ce que tu veux, c'est qu'une fois x fixé dans R, ta fonction soit intégrable en t.

c'est un o(1/t²) multiplie l'intégrande par t² puis passage en l'infini (pour t) tranquille

au fait jte donne la réponse à la dernière question du dm : racine(pi)/2

En fait le seul souci c'est quand t tend vers +oo, et j'ai bien peur de ne pas avoir raison quand je majore l'intégrande par 1 / (1+t²) ...

Oui, sqrt(pi)/2 je l'avais démontré d'une autre manière précédemment. On voit les habitués...

Et pourtant, c'est la façon la plus simple de procéder. Ici, une majoration brutale d l'exponentielle par 1 suffit largement.

Ah oui effectivement, j'avais pas remarqué que j'aurais systématiquement x²(1+t²) > 0 donc par passage à l'inverse de l'exponentielle, c'est inférieur à 1.

Merci !

"au fait jte donne la réponse à la dernière question du dm : racine(pi)/2 "