Yop.

J'ai les séries de terme général (Un^3)n et (Vn^3)n qui convergent.
Montrer que la série de terme général ((Un+Vn)^3)n converge.

Une idée quelqu'un ?
Merci d'avance.

Un et Vn sont positives non? sinon c'est faux.

Yep, deux séries à termes positives.

((Un+Vn)^3) = Un³ + Vn³ + 3UnVn(Un+Vn)

3UnVn(Un+Vn) <= 3/2 (Un²+Vn²)(Un + Vn) = 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 Un²Vn²(Un+Vn)

Comme somme( Un³) converge Un -> 0 et il existe N tel que pour n >= N 0 <= Un² <= Un <= 1
Même chose pour Vn avec un entier N' > N

Alors pour n >= N'

3UnVn(Un+Vn) <= 3/2 (Un²+Vn²)(Un + Vn) = 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 Un²Vn²(Un+Vn) <= 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 UnVn(Un+Vn)

ce qui donne pour n >= N'
3/2 UnVn(Un+Vn) <= 3/2 Un³ + 3/2 Vn³

Donc pour n>= N'

((Un+Vn)^3) = Un³ + Vn³ + 3UnVn(Un+Vn) <= 4Un³ + 4Vn³

sauf erreur

j'imagine que y avait beaucoup plus simple (Les séries de terme général de puissance p sommables forment un ev)

non j'ai du me tromper jpense ..

J'ai un doute pour ton Un²Vn²<UnVn<1 ... :

Les questions précédentes c'était :

1) Sigma(Un) cv => Sigma(Un²) cv

2) Sigma(Un²) et Sigma(Vn²) cv => Sigma(UnVn) cv

nan jpense que c'est bon en fait

3/2 (Un²+Vn²)(Un + Vn) = 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 Un²Vn²(Un+Vn)

Là c'est faux, mais finalement ça ne change pas la démo donc c'est bon.

qu'est-ce qui est faux

3/2 (Un²+Vn²)(Un + Vn) = 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 UnVn(Un+Vn)
(T'avais des carrés), mais après je vois pas comment tu majores ça en fait ...

ah oui excuse att

Ah non j'ai rien dit, c'est bon !
Merci pour ta méthode, j'aurais pas trouvé autre chose ...

3UnVn(Un+Vn) <= 3/2 (Un²+Vn²)(Un + Vn) = 3/2 Un³ + 3/2 Vn³ + 3/2 UnVn(Un+Vn)

ok ça on est d'accord donc en faisant passer le 3/2 UnVn(Un+Vn) de l'autre côté :
3/2 UnVn(Un+Vn) <= 3/2 Un³ + 3/2 Vn³

d'où 3UnVn(Un+Vn) <= 3Un³ + 3Vn³

(le "c'est bon" c'est pour la majoration )

(un+vn)^3 =< (2*max(un,vn))^3 = 8*max(un,vn)^3 =< 8*(un^3 + vn^3)

Non ?

Voilà, impec ! Merci.

ouais la méthode de prauron est meilleure