Bonjour,

La leçon porte sur le raisonnement par récurrence.

Voici la solution de l'exercice que je ne comprends pas.

L'énoncé est: "Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n: (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + na"

Je saute la partie initiation pour vous montrez la partie hérédité, qui est celle que je comprends pas:

" (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a + na²

Or: na² >(ou égale) 0 ,

donc: 1 + (n + 1)a + na² >(ou égale) 1 + (n + 1)a

On obtient (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a

CàD la que propriété P(n + 1) est vraie.
On à donc prouvé que la propriété P(n) est héréditaire à partirr du rang 0."

(1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a + na²

Or: na² >(ou égale) 0 ,

donc: 1 + (n + 1)a + na² >(ou égale) 1 + (n + 1)a

Je ne vois pas du tout en quoi ça prouve que (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a ...

une relation d'ordre est transitive

c'est pas " (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a
qu'on veut démontrer mais (1 + a)^(n + 2) >= 1 + (n + 1)a.

enfin ça c'est si tu cherches à utiliser la récurrence je veux dire

Non l'énoncé est bien: "Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n: (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + na"

Generalement pour prouver recurrence faut remplacer par le terme suivant. Ensuite on essaie de retrouver le terme initial:

Un=3n +3

Un+1=3n+6

Un+1=Un+3

Enfin cest un peu plus complique que ca en ce qui te concerne.

Je suis en TS moi aussi et jai pas eu de cours de maths encore

Jvai aller reviser qud mm demain 2h de spé et 2h classe entiere

Ok jai fais un HS?

tu as montré que si la relation était vraie pour un n donné elle serait vraie pour n+1... donc elle est vraie pour tout n puisqu'elle est vraie pour n = 0, t'as compris ?

Bah oui tiiins c'est bien l'énoncé. Mais si tu veux le démontrer par récurrence tu dois initialiser, puis vérifier que si on suppose que la propriété est vraie pour un certain n€IN, elle l'est aussi pour n+1..

Tout ça je l'ai compris. L'initialisation c'est easy aussi. C'est pour ça que je ne vous que la partie que je ne comprends pas, ce petit passage:

(1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a + na²

Or: na² >(ou égale) 0 ,

donc: 1 + (n + 1)a + na² >(ou égale) 1 + (n + 1)a

Je ne vois pas du tout en quoi na² >(ou égale) 0 prouve que (1 + a)^(n + 1) >(ou égale) 1 + (n + 1)a ...

(1 + a)^(n + 1) >= 1 + (n + 1)a + na² >= 1 + (n + 1)a car na² > 0

Bon, ton énoncé c'est : montrer par récurrence que :
Initialisation
(1 + a)^(n + 1) >= 1 + na
P(0) est évidente. ( 1+a > 1) car a>=0

Hérédité : on suppose que (1 + a)^(n + 1) >= 1 + na pour un certain n€IN
(1 + a)^(n + 1) >= 1 + na (HR)
(1 + a)^(n + 2) >= (1 + na)(1+a) (car 1+a positif)
(1 + a)^(n + 2) >= 1+a+na+na²
(1 + a)^(n + 2) >= 1+a(n+1)+na² >= 1+a(n+1)

P(n) => P(n+1)

1+a >= 1 oops.

houla je suis endormi j'ai mis Initialisation entre le texte et la propriété

Merci pour tes réponses,

mais en quoi na²>=0 prouve que (1 + a)^(n + 1) >= 1 + (n + 1)a

C'est précisement ça que je ne capte pas!

(1 + a)^(n + 2)>=1+(n+1)a tu veux dire ?
si a>0
bah x > z + a => x>z car z+a >z

Justement x > z + a c'est ce qu'on doit prouver!

Ou alors c'est ce qu'on propose comme hypothèse? Dans ce cas là ce serait pas logique.

Oublie (1 + a)^(n + 1) >= 1 + (n + 1)a c'est n'importe quoi. Si tu veux prouver que la propriété initialisée (1 + a)^(n + 1) >= 1 + na est vraie à partir dudit rang; tu dois montrer que si elle est vraie, elle l'est toujours pour le rang suivant çad (1 + a)^(n + 2)>=1+(n+1)a, c'est pas commpliqué.