Salut,

Des questions qui n'affolent personne sauf moi, et j'aimerais plus de précisions sur ces petits détails.

Quelle différence y'a-t-il entre une récurrence et une démo normale ? Par exemple pour prouver que pour x appartenant à [0,1] x^n>x^(n+1) ais-je le droit de dire que 0<x<1, d'ou 0<x*x^n<x^n c'est a dire x^n>x^(n+1) ? Est-ce que ça prouve bien que ça marche pour tout n de lN* ?

Par ailleurs si je dis 0<x<1 quelle est la propriété qui permet d'affirmer que 0^n<x^n<1^n ?

C'est tout (pour l'instant)

Merki

Oui ça marche, pas besoin de récurrence là.

Propriété de croissance de x-> x^n sur [0,1].

c est du cours tout ça
je t invite à rechercher quantificateurs logiques, axiomes de peano et croissance d une fonction sur google

Oui, ça marche et ce sans récurrence, puisque c'est valable pour tout n entier naturel.
En maths on fait cette chose un peu subtile:
On dit "soit n entier naturel, soit x dans [0,1]"
On aboutit à une proposition, et si on n'a pas eu besoin de préciser n ou x, et que le truc entre parenthèse suffit, ça marche, justement, quelque soit n entier naturel et quelque soit x dans [0,1]

Si on en prend un au hasard et que ça marche à coup sûr, ça marche pour tous.

Passons à ton exemple.

Soit n entier naturel non-nul, soit x dans [0,1].
On a: 0<x<1
x->x^n est croissante sur [0,1]
Donc: 0^n<x^n<1^n
Soit: 0<x^n<1
x^n>0
Donc: 0<x^(n+1)<x^n
Et ceci est valable pour tout x dans [0,1], tout n entier naturel non nul.