Bonsoir a tous, je doit passer un examen de Maths lundi et je n'arrive pas a comprendre la trigonalisation, en particulier le cas avec une valeur propre double. C'est donc ici un appel au secours !
Voici mon exercice :
Soit la matrice
( 5 -3 -2 )
B := ( 2 0 -1 )
( 2 -2 0 )
a) calculer le polynôme caractéristique de B et vérifier qu'il possede une racide double
b) Déterminer une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que B = PTP-1. La matrice B est elle diagonalisable ?
c) En déduire le calcul de la matrice exp(tB).
d) Exprimer les solutions du système différentiel suivant :
{x' = 5x - 3y - 2z
{y' = 2x - Z
{z' = 2 - 2y

Si vous savez résoudre la question 2 surtout mais aussi les autres, je vous en serait super super reconnaissant !

J'ai 1 pour la premiere et 2 pour la valeur double.

d'accord donc je cherche un vecteur qui soit pas lié aux deux premiers, une fois que j'ai mes trois vecteurs, comment je forme la matrice triangulaire supérieure ?
Non je connais pas Jordan Dunford :s

On s'en fiche de Dunford non ? (on m'a appris à dire "Dunford" moi ).

Comme dit, le b) ça se résout en utilisant à max les vecteurs propres, puis en posant/résolvant un système d'équations pour le reste.

ok je vois a peu pres, pour a, b et c, je dois choisir comment ?

ok c bon pour ca, pour l'exponentielle, vous savez comment ca se calcule ?

irontournament6: bien sûr que non. À quoi sert la question B à ton avis ?
D'ailleurs, pour ta culture, c'est toujours une mauvaise idée de calculer exp(A) via Dunford. On a des moyens beaucoup plus simples à base d'itérations de Newton pour ça.

Si B = P^{-1}.T.P, alors exp(B) = P^{-1}.exp(T).P.
Reste à calculer exp(T). Pour ça, on calcule T^2 et T^3. On déduit une formule pour T^n qu'on montre par récurrence. Et ensuite yaka calculer Somme(T^i/i!) terme à terme.