Est ce que pour tout fonction derivable, il existe un intervalle tel que la fonction est strictement monotone sur cet intervalle ?

Intuitivement la reponse est oui , mais comment le prouver ?

Une fonction constante est dérivable mais non strictement monotone…

Bon à part les fonctions constantes ... ?

Si tu supposes que ta dérivée est continue c'est vrai.
Sinon je suis pas sûr que ce soit juste. Il faut faire gaffe avec l'intuition, la continuité et la dérivabilité c'est beaucoup plus monstrueux que les jolis dessins qu'on trace au tableau
Tu as pas exemple des fonctions du type x²*sin(1/x) (prolongée par continuité en 0) qui sont dérivables en un point (ici 0) mais monotone sur aucun voisinage de ce point. En construisant une série de translatées de ce genre de fonction sur un ensemble dénombrable dense dans R, on peut peut-être construire une fonction dérivable monotone au voisinage d'aucun réel

Je t'avais dit exactement pareil que morphisme : vrai pour C1 faux sinon et tu m'as pas écouté

"Si tu supposes que ta dérivée est continue c'est vrai."

merci, mais pourquoi ?

f dérivable sur un intervalle I et non constante => il existe a de I tel que f'(a) est non nul (dans le cas contraire f est constante). De plus, on peut choisir a de telle sorte qu'il ne soit pas sur une borne de I (si l'intervalle est borné d'un côté et fermé).
Si f' est supposée continue, il existe un voisinage [a-h;a+h] de a sur lequel f' est non nulle et de signe constant (on va dire strictement positive). Or, tu as un théorème qui te dit qu'une fonction dérivable sur un intervalle et de dérivée strictement positive sur celui-ci y est strictement croissante. Tu peux l'appliquer sur l'intervalle [a-h;a+h].

Un an plus tard, j'ai la réponse

C 'est faux: il existe une fonction continue monotone sur aucun intervalle non réduit à un point, definie à partir d'une suite bien moche (voir exemple dans les Contre Exemples en mathématiques aux éditions ellipses)

Oui y'en a plein des fonctions comme ça, la fonction de Weierstrass par exemple. Mais c'était pas vraiment la question de l'auteur, lui parlait d'une fonction dérivable.

http://moduloserge.free.fr/HX1-10/DM/dm10_Blancmange.pdf

La remarque de Prauron est toujours valable

Lol 18 questions pour ça.

c'est non trivial