Bonjour à tous ! Bon voilà pour faire court,je bloque sur cet exo :

Voilà je n'arrive pas à résoudre l'exo ci-dessus :

Soit (Pn) une suite de R[X] telle que : quel que soit n ; deg Pn < deg Pn+1
Montrer que (Pn) est une base de R[X] si et seulement si deg(Pn) = n pour tout
n de N

J'ai essayé de faire le sens direct,j'en chie alors que ça a l'air simple
Le sens réciproque,je bloque pour prouver que la famille est génératrice,donc je suis sûrement sur la mauvaise voie.

Merci à tous pour vos futures indications/aides

pour la reciproque tu peux te servir du fait que 1,X,X²,...,X^n,... est une base de R[X] je pense

pour le sens direct :
procede peut etre par contraposée
tu supposes en plus du fait qu'il existe n tq deg pn= m tq n=/=m que cette famille soit une base
tu trouveras surement une contradiction sur le fait que la famille ne soit pas generatrice

je ne sais pas si ca va te mener quelque part facilement, mais c'est ma premiere idée en tete, et je t'avouerais que j'ai la flemme de faire les calculs ou meme d'y reflechir plus ^^

bon courage !

J'ai déjà essayé pour la contraposée ,rien n'y fait

Par contre 1,X....,X^n est une base de Rn[X] et non de R[X] non ? Parce que voilà le cours parle d'espace vectoriel de dimension finie et là R[X] est de dimension infinie donc ça pose problème :s....

Merci pour ta réponse sinon

je viens de reflechir sur ta reciproque, je pense que c'est pas tres dur
1,X,X²,...,X^n,... est une base de R[X]
pour la liberté ca devrait aller grace a ca uniquement
(ou polynome echelonné en degré etc... quite a passer par un raisonnement par l'absurde ...)
pour que la famille soit generatrice, P(X) = a0 +a1X+...+anX^n
pour ecrire salement la chose, tu peux ecrire a0, a1,...,an (quitte a rajouter un scalaire sous forme de fraction) pour avoir de P(x) = b0P0(X) +...+ bnPn(X)
apres suivant cette methode pour l'ecrire proprement je ne sais pas si il y a plus rapide que d'ecrire tous les coeff des polynomes et ainsi de bien decomposer tous les ai, ce qui est long et pas tres interessant, mais il y surement plus rapide

pour ton sens direct
tu peux peut etre aussi proceder par un raisonnement par l'absurde, tu en deduiras qu'il n'existe pas de polynome d'un certain degré m (tu ne peux rien dire sur le m par contre ca peut etre 0,1,2,...,n,...)

tu prends le polynome X^m et tu remarques qu'il t'es impossible d'ecrire ce polynome sous forme de combinaison lineaire des Pn
soit il n'existe aucun polynome tel que le coeff devant X^m soit non nul et c'est reglé
soit tu supposes qu'il en existe et comme tu sais deja qu'il existe i tel que degPi>m et tel que Pi ait le plus petit degré tq le coeff devant X^m soit non nul
comme il est de degré strictement superieur a m il a un coeff en non nul en X^m+p
donc par une sorte de raisonnement par recurence faudrait annulé ce coeff par combinaison lineaire des autres polynome Pn, n>i etc...et il y aura toujours un coeff non nul devant un X^q, q>m, car degPj<deg Pj+1

je sais que c'est tres mal ecris, mais je t'explique mes petits raisonnement ^^
j'espere que ca t'aidera, bien sur je sais qu'en prepa ca ne passe pas trop par ecrit on te dira qu'il y a beaucoup de bricolage etc, mais ca peut etre un debut de raisonnement si tu ne vois pas plus rapide ou plus simple ^^

Ok merci j'vais voir ça tout de suite

oui mais la base que jt'ai dit ca continue encore apres le n d'ou les "..." ^^

apres les bases en dimensions infinies, tu peux parler de famille totale, et Vect ( X^n, n appartenant a N) est totale dans R[X] (ca veut dire que son adherence = R[X], ou si tu preferes, tout polynome de R[X] est limite de polynomes de ce Vect)

sinon autre idée, tu peux voir R[X] comme limite de Rn[X] pr n ->+oo

donc si tu prouves cela dans Rn[X] quelque soit n en passant a la limite "ca marche" ^^
je ne suis pas sur que ca marche vraiment vraiment, mais si tel est le cas, c'est une jolie alternative bien plus simple ;)

je ne pense pas qu'on puisse vraiment car R[X] n'est pas complet
meme si il l'etait je pense pas qu'il existe ce genre de chose
bref je delire un peu ce soir ;)
bon courage

Je comprends pas trop quand tu dis "adhérence" et "complet"

Mais bon ça doit être un truc qu'on verra plus tard,bonne nuit :p

bon, apparemment j'avais envi de faire ton probleme
j'ai un debut
donc la reciproque deja
degpn=n
tu suppose que les pn sont liés
il existe a0 ... an tq a0P0+...+anPn=0
tu poses r=max(i entre 0 et n tq ai=/=0)
donc ar=/=0
et qqsoit n=>i>r ai=0
donc arPr=-a0Po - ... - ar-1 Pr-1
le degré du polynome de droite est inferieur ou egale a r-1 (tout depend du coeff ar-1 nul ou non)
or arPr est de degré r
contradiction, ta famille est libre

ensuite pr montrer qu'elle est generatrice,
soit P appartenant a R[X]
soit n son degré
P0 ... Pn est libre et de cardinale n donc base de Rn[X]
donc combinaison lineaire des P0 ... Pn
donc des Pn n appartnenant a N donc c'est bien une famille generatrice

(tu peux aussi surement le faire par recurence sur les degrés P de degré 0 donc combinaison lineaire de P0 (car de degré 0 aussi donc a P0/a0 car P=a et P0=a0
ensuite pr le passage a n non nul
suffit de faire de la meme facon avec a le coeff dominant de P et an le coeff dominant de Pn pr faire la soustraction et avoir un polynome de degré inferieur strictement a n et avec lhypothese de recurence c'est fini

le sens direct

tu fais par labsurde
tu poses k=min(i tq deg Pi =/=i)
als qqsoit i<k deg pi = i et qqsoit i>=k deg Pi > k
donc tu montre que X^k n'est pas combinaison lineaire des Pn
suppose qu'il existe a0 ... an tq X^k = a0 Po + ... + an Pn en supposant an=/=0 si an=0 tu fais une reeindexaction etc c'est pareil

X^k ne peut etre combinaison lineaire des pol de degré inferieur strictement a k
donc n>=k
deg Pn=deg anPn = deg X^k-a0P0-...-an-1Pn-1<= max (k,deg Pn-1) ce qui est contradictoire car deg Pn-1 < deg Pn et deg Pn >k car n>=k

CONTRADICTION
donc la famille n'est pas generatrice donc pas une base
donc deg pn = n qqsoit n

je pense que la c'est plus propre ^^ ca revient a ce que j'ai dit precedemment mais ecrit d'une facon bcp moins aleatoire et bcp plus efficace ^^

bonne nuit !

Merci beaucoup,j'avais pas réussi pour le sens direct mais j'ai trouvé le sens réciproque comme un grand,merci

tu as pu remarquer que c'est pas bien compliqué ^^ une fois qu'on a vu comment l'ecrire correctement parce que sinon ca ressemble trop souvent a du bricolage ^^
bon courage pour ta poursuite d'etude !

merci ;)