Bonsoir, j'ai une petite question,

Voilà, imaginons on a une matrice A dans une base quelqconque de R^3.

Et on me demande de caractériser l'endomorphisme euclidien de cette matrice.

Bon je calcul mon déterminant, supposons égal à 1.
Donc je cherche l'axe de rotation en cherchant f(x) = x et supposons que je trouve vect(1,1,1).

Voilà, ma question est de savoir, comment je fais pour calculer les vecteurs orthonormés ? Parce qu'au début ma base n'est pas forcément orthonormé.

Donc je prends par exemple e_1 = (1,1,1)/sqrt(3)
Je sais que e_2 est orthogonal à e_1, mais comment je le calcule ? J'en prends un au hasard ?

Bon ensuite pour e_3 y a pas de problèmes.
Mais c'est simlpement pour calculer e_2...

Merci.

Pour e2 tu cherche un vecteur normal a e1 genre (1,-1,0)/sqrt(2)
Puis tu trouve e3 en faisant e1^e2 ou tu intuite dans ce cas c'est pas trés dur
^ c'est le produit vectorielle

Mais pour ce e_2 je peux prendre celui que je veux ? Enfin on n'impose rien ?

Je profite de ce topic sur les matrices pour poser une question:

C2[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré au plus 2, je dois en donner une base vu d'abord comme C-espace vectoriel puis comme R-espace vectoriel.

Je ne sais pas comment procéder ni quelle est la différence entre les 2, si vous pouviez m'aider

ton e2 tu le choisis n'importe comment en effet du moment qu'il soit de norme 1 et orthogonale a e1
ensuite le produit vectoriel s'impose pour e3

mais de maniere general
tu sais qu'une matrice de rotation est sous la forme (dans une certaine base !!!)
1 0 0
0 cosT -sinT
0 sinT cosT

la premiere colonne etant par rapport a l'axe de rotation
tu le normalise dans tous les cas
ensuite tu prends le e2 quelconque (tant qu'il soit orthogonal a e1 et de norme1 et tu conclus avec e3 le produit vectoriel)

et tu auras la matrice de ta rotation dans cette base e1 e2 e3

Et ensuite je fais la trace.
Par exemple ici la trace ce sera :

1 + 2cosT = 2 ( Le 2 c'est un exemple d'une matrice A de trace égale à 2)

Donc j'ai cosT = -1/2.

Mais pour trouver le signer de l'angle, je dois calculer le déterminant [e_1, f(e_1), u] ( Où u est le vecteur axe de rotation, donc ici i+j+k) et regarder son signe non ?

oui mais c'est pas e1 que tu choisis, il ne doit pas etre colineaire a u et e1 c'est la normalisation de u

bref a la place de e1 tu met un autre vecteur non colineaire a u
et le signe du produit mixte ( determinant si tu preferes) c'est le signe de sin T
tu pourras determiner T