Dis-toi que les mathématiques sont une langue comme une autre.
Dans ce cas, on t'affirme des choses, et toi tu dois traduire les parties intéressantes pour ensuite appliquer les méthodes utiles à la résolution du problème donné.
« élève X et élève Y se rendent dans une confiserie et achètent des bonbons et des chocolats. »
On associe la variable X et Y à des lycéens quelconques.
« élève X achète 3 kg de chocolats et 2 kg de bonbons pour un prix total de 99 euros »
« élève Y, quant à lui, achète 4 kg de chocolats et 3 kg de bonbons pour un prix total de 136 euros »
Ce qui est demandé, c'est de trouver le prix au kg de chocolats et de bonbons.
On choisit d'associer la variable c au chocolats et b aux bonbons.
Si on exprime la première phrase, on peut alors écrire :
Pour l'élève X, 3 kg de chocolats et 2 kg de bonbons. Prix total : 99 €.
Soit en notations mathématiques :
3c + 2b = 99 (X)
Expression de la seconde phrase :
Pour l'élève Y, 4 kg de chocolats et 3 kg de bonbons. Prix total : 136 €.
Soit en notations mathématiques :
4c + 3b = 136 (Y)
Donc pour résumé :
3c + 2b = 99 (X)
4c + 3b = 136 (Y)
On obtient donc au final deux équations contenant deux variables identiques.
C'est ce que l'on appelle un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues.
On souhaite trouver la valeur de c, ainsi que celle de b, qui pour rappel sont les équivalents respectifs du prix d'un kg de chocolats et d'un kg de bonbons.
Pour ce faire, il existe deux méthodes : la méthode dite de substitution, et la méthode par combinaison.
La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre et ainsi la remplacer dans l'autre expression ; et celle par combinaison à annuler l'expression d'une inconnue.
On va préférer suivre la méthode de substitution car le cas de figure y est idéal.
On choisit donc d'établir l'expression d'une inconnue, par exemple c.
On décide de l'exprimer grâce à la première équation, celle de l'élève X.
Pour y arriver, on doit utiliser des procédés élémentaires, tels que changements de membre, factorisation, etc.
3c + 2b = 99
3c + 2b - 2b = 99 - 2b
3c + (2 - 2)b = 99 - 2b
3c + 0b = 99 - 2b
3c = 99 - 2b
3c / 3 = (99 - 2b) / 3
c = (99 - 2b) / 3
c = (99 / 3) - (2b / 3)
c = 33 - (2b / 3)
Maintenant que l'on a exprimé l'inconnue c, on remplace la variable c par l'expression obtenue, dans l'équation de l'élève Y.
4c + 3b = 136
4 * [33 - (2b / 3)] + 3b = 136
4[33 - (2b / 3)] + 3b = 136
4 * 33 + 4 * [-(2b / 3)] + 3b = 136
132 + (-8b / 3) + 3b = 136
132 - (8b / 3) + 3b = 136
132 - (8b / 3) + 3b - 132 = 136 - 132
-(8b / 3) + 3b = 4
3b - (8b / 3) = 4
[(3 * 3b) / 3] - (8b / 3) = 4
[(3 * 3)b / 3] - (8b / 3) = 4
(9b / 3) - (8b / 3) = 4
(9b - 8b) / 3 = 4
1b / 3 = 4
b / 3 = 4
(b / 3) * 3 = 4 * 3
3b / 3 = 12
1b = 12
b = 12
On connait donc maintenant le prix d'un kg de bonbons, 12 €.
Si tu ne comprends pas pourquoi b est égal au prix d'un kilo de bonbons, rappelle-toi que l'on a annoté les kilos de bonbons "2b" ou "3b", donc que b, soit 1b, équivaut à un kilo.
Connaissant b, il nous reste qu'à remplacer la variable par sa valeur et ainsi trouver la valeur de l'inconnue c, en opérant de la même manière.
On peut le faire avec l'une des deux équations ou les deux, si on souhaite vérifier que le résultat est cohérent.
Avec l'équation de l'élève X :
3c + 2b = 99
3c + 2 * 12 = 99
3c + 24 = 99
3c + 24 - 24 = 99 - 24
3c + 0 = 75
3c = 75
3c / 3 = 75 / 3
1c = 25
c = 25
Avec l'équation de l'élève Y :
4c + 3b = 136
4c + 3 * 12 = 136
4c + 36 = 136
4c + 36 - 36 = 136 - 36
4c + 0 = 100
4c = 100
4c / 4 = 100 / 4
1c = 25
c = 25
Donc le prix d'un kg de chocolats est de 25 €.
On a trouvé le prix d'un kg de bonbons, 12 €, et le prix d'un kg de chocolats, 25 €.
On peut vérifier que ces résultats sont corrects en remplaçant b et c par leur valeur réelle, dans l'équation de l'élève X, par exemple.
Si le membre de gauche de l'équation est alors égal à 99 dans ce cas, alors les valeurs trouvées sont les bonnes :
3c + 2b = 3 * 25 + 2 * 12 = 99, donc c'est bon.
4c + 3b = 4 * 25 + 3 * 12 = 136, impec'.
