Salut, montrer qu'un nombre premier impair s'écrit comme une somme de deux carrés si et seulement si il est congru à 1 modulo 4.

Merci.

c'est facile, procède par dichotomie, c'est juste du calcul

Y'a lui et suumascisla, 'comprend pas non plus

Agentsmith il rage parce que j'ai finit son exo de géométrie

"nombre premier impair " pléonasme ?

Y a le 2 qui est pair.

Ah oui c'est vrai

Ce qu'on constate à première vue

(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k +1
(2k')^2=4k'^2

LA somme d'un carré pair et impair fait toujours un nombre congru à 1 modulo 4

Ici (2k+1)^2 + (2k')^2 = 4(k^2 + k +k'^2) + 1

C'est la seule forme que prend la somme de 2 carrés pour que leur somme soit impair.
On déduit que si un nombre premier impair s'écrit comme somme de deux nombres pairs il est de la forme 4k +1
L'autre sens est un peu plus délicat...

de deux carrés*

Je crois avoir trouver pour l'autre sens...

Soit un nombre premier N tel que :
N = 4A + 1
on a vu juste avant que si N est somme de 2 carrés alors il est de la forme :
N =2(x^2 + x + y^2)+1
avec x et y les multiples de 2 des carrés...

en sachant que N = 4A + 1 pour qu'il puisse être la somme de 2 carré il faut donc que :
A = x^2 + x + y^2
or x^2 + x = x(x+1) c'est le double d'un nombre triangulaire

on a donc :
x(x+1) = A -y
A donné on cherche un double de nombre triangulaire en dessous de A : On cherche la distance entre le plus haut double nombre triangulaire en dessous A et A on appel cette distance y
On regarde quel était le double nombre triangulaire en dessous de A,on le divise par 2 il n'y a plus qu'à chercher son rang dans la suite des nombres triangulaire que ce soit par construction du triangle ou autres... Son rang c'est x une fois trouvé

Et au final : N = (2x+1)^2 + (2y)^2

D'ailleurs le résultat est beaucoup plus géneral que ça :

Toute somme de deux carrés est soit paire soit de la forme 4k+1 et tout nombre de la forme 4k +1 est somme d'un carré paire et impaire

"tout nombre de la forme 4k +1 est somme d'un carré paire et impaire "

21 étant un contre exemple...

Euh ouais bon j'ai rien dit en fait
Mais la démo est bonne

En fait elle est mauvaise je viens de me rendre compte que j'ai transformé un y^2 en y sans m'en rendre compte

J'me disais bizzare la conséquence

C'est dur.

qui se souvient que -1 est résidu quadratique mod p premier ssi p congu à 1 mod 4 ?

Peut être faut-il s'aider des triplets pythagoriciens ?

Effectivement :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Que des hypothénuses de la forme 4k + 1

ptizap > c'est une conséquence du petit théorème de Fermat

« or x^2 + x = x(x+1) c'est le double d'un nombre triangulaire » et un joli "je me la pète pour rien"-award, un !

Et la preuve en elle-même est naturellement fausse, vu qu'on n'utilise jamais le fait que 4A+1 soit premier, alors que c'est une hypothèse nécessaire (cf le contre-exemple avec 21 cité ci-dessus).