Bonjour à tous, je bloque sur un exercice :

on considère un espace vectoriel E de dimension n € N* et on cherche à établir une définition fiable de la notion de trace d’un endomorphisme u de E.
L’idée consiste à définir la trace d’un tel endomorphisme u comme étant celle de sa matrice A dans une base B de E. Mais suivant la base B de E considérée, la matrice A de u dans la base B n’est plus la même. Pour qu’une telle définition ait du sens, il faut que les traces de toutes les matrices A représentant u dans toutes les bases B possibles de E soient toutes égales. On dit alors que la trace d’un endomorphisme est indépendante de la matrice qui le représente.

Je dois alors montrer que si B et B' sont deux bases de E, que A est la matrice de u dans la base B et que A' est celle de u dans la base B', alors A et A' ont la même trace (on pourra introduire la matrice P de passage de la base B à la base B') et je dois en déduire une définition correcte de la notion de trace d’un endomorphisme u (notée tr(u)).

Je ne vois pas du tout comment faire ni par où commencer, pourriez-vous m'aider svp. Merci d'avance

A' = P^(-1)AP.

Tr(AB) = Tr(BA)

T'aurais quelques explications stp parce que je suis vraiment à la ramasse en algèbre linéaire et j'ai du mal à comprendre.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement ? Tu ne connais pas ces formules ? Tu ne vois pas comment les utiliser ? Tu ne comprends pas du tout ce qu'on te demande ?

Je connais les formules de changement de base mais je ne vois pas comment les utiliser afin de répondre à la question.

Tr(A') = Tr((P^(-1)A)P) ) Tr(P(P^(-1)A)) = Tr(A).

Oups j'ai oublié un =.

ok merci, j’essaierai de revoir ça demain à tête reposé.

Bah pour faire simple c'est une démo en deux temps: tu montres que Tr(AB)=Tr(BA), et après tu te sers de ça et tu l'appliques à la définition de A' => Comme A'=p-1(A)p, ça te permet de mettre cote à cote p et p-1, ce qui donne l'identité, et tu te retrouves avec Tr(A)=Tr(A')

Merci à vous, j'ai compris comment faire

Je dois maintenant étudier les propriétés algébriques de cette application trace et caractériser les formes linéaires f sur L(E) vérifiant, pour tous (u, v) appartenant à L(E), f(vou) = f(uov).

Comment puis-je déterminer cela sachant que j'ai juste montré que tr(AB)=tr(BA) et tr(A)=tr(A')

Ce sont les multiples de la trace il me semble.

Comment je peux le démontrer ?

C'est quoi Eij ?
Et quel est le rapport entre f(Eii)=f(E11) et la question ?

Tu pourrais m'expliquer stp.

Les Eij ce sont les matrices de la base canonique de Mn(K).
Comme tu as f(Eij) = 0 pour i différent de j, et f(Eii) = f(E11) pour tout i, tu peux en déduire que f = Tr(E11)*Tr. En effet ces applications coïncident sur la base (Eij).

f = f(E11)*Tr je veux dire.

Ah d'accord donc les formes linéaires f sont les applications qui coïncident sur la baser (Eij).

Concernant l'étude des propriétés algébriques de l'application trace, c'est un peu vaste comme question que dois-je faire exactement?

tr : L(E)->E , u |-> tr(u)

"Ah d'accord donc les formes linéaires f sont les applications qui coïncident sur la baser (Eij)"

Euh cette phrase ne veut rien dire. Coïncident avec quoi ?
Les formes linéaires f sont celles qui sont de la forme k*Tr, avec k un scalaire (qui est en fait f(E11)).

"tr : L(E)->E , u |-> tr(u) "

Non la trace est à valeurs dans le corps K. Pour les propriétés algébriques, à part que c'est linéaire, que tr(AB) = tr(BA), et que tr(tA) = tr(A) (t pour transposée), je vois pas ce qu'il faut dire d'autre...

D'accord, encore merci