Bonsoir,
Je me demandais ce qu'était une matrice élémentaire.

Merci de votre aide.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%C3%A9l%C3%A9mentaire

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Ok, alors comment peut-on calculer la trace de la matrice élémentaire E(i,j) avec (i,j) appartenant à [[1,n]]^2 ?

Ah quoi qu'une matrice élémentaire ça peut être, si je me souviens bien, aussi une matrice de type E(i,j) dont tous les coefficients sont nuls, sauf à la i-ème ligne/ j-ème collone où on a 1.

Du coup pour la trace, c'est pas très compliqué.

Merci, la deuxième définition est beaucoup mieux.

Pour info, la famille des matrices élémentaires constituent une base du R-espace vectoriel des matrices, et si je me souviens bien, c'est la base canonique.

En gros tu peux exprimer toutes les matrices comme étant combinaison linéaire de matrices élémentaires.

Concernant la trace, elle ne concerne donc que les matrices carrées, et correspond à la somme des coefficients qui sont sur la diagonale.

Etant donné que les matrices élémentaires ont un coefficient égal à 1 et tous les autres nuls, la trace est "binaire", soit elle prendra la valeur 1, soit la valeur 0 suivant la position du coefficient non nul de la matrice élémentaire.

D'ailleurs, si tu fais le lien avec les applications linéaires, les matrices élémentaires correspondent simplement à prendre dans l'ensemble de départ la j-ième coordonnée du vecteur, pour l'envoyer dans la i-ème coordonnée du vecteur image dans l'ensemble d'arrivée.

je penses que vous confondez matrice elementaire et base canonique des matrices

les matrices elementaires sont des matrices qui consistent a faire des operations sur les lignes et les colonnes

comme ;
Li<-> Lj
Li<- Li +aLj
Li<- aLi

on a un resultat analogue sur les colonnes

en gros ca permet de montrer que deux matrices sont semblables si tu arrives a faire des operations sur les lignes ET colonnes de cette sorte ca etc ...
apres il y a tout un tas de proprietes et de pratiques utiles avec ca, inverser une matrice par exemple, mais la on ne peut utiliser que les lignes ou que les colonnes pas les deux

etc ...

donc voila

en gros si tu fais une des operations elementaires citées en haut sur les colonnes ou sur les lignes, tu peux representer ca par multiplication a gauche ou a droite par une matrice elementaire !

Exact, je me suis totalement planté. (comme toujours ).

Effectivement, lorsque tu fais des opérations sur les lignes ou les colonnes, pour trouver le rang d'une matrice, le pivot de Gauss, voir si elle est inversible...etc, cela revient à multiplier par des matrices élémentaires. T'en as plusieurs types, correspondant à des changements sur une matrice.