bonjour, ptit exo d'espérance conditionnelle :
soit (oméga, F, P) un espace de probabilité , X appartient à L1 et g une sous tribu de F
démontrer la propriété suivante :
X>=0 ce qui implique E(X|g) >= 0

merci

Je pense qu'il manque des P-p.s.

Par définition de l'espérance conditionnelle, pour tout B appartenant à g, intégrale sur B de X = intégrale sur B de E(X|g).
Supposons que E(X|g) ne soit pas >= 0 P-p.s. Alors il existe B appartenant à g tel que P(B) > 0 et tel que E(X|g) < 0 sur B. Ce qui implique que l'intégrale sur B de E(X|g) est < 0. Or cette intégrale est égale à intégrale sur B de X. Ce qui est absurde, puisque X >= 0 P-p.s.

J'espère que c'est juste. :p

c'est juste mais il y a un rajout dans le corrigé que j'ai pas saisi :

on va appeler Y = E(X|g)

On veut montrer que P(Y>=0) = 1
Raisonnons par l'absurde. On suppose que P(Y<0) > 0
il existe n, P(Y<(-1/n)) > 0
G = {Y<-1/n}
intégrale sur G de Y = intégrale sur G de X >=0
avec intégrale sur G de Y <0
je pense que c'est ce que t'as dis jusque là.

Mais après il y a ça :

intégrale sur G de Y = intégrale sur {Y<(-1/n)} de Y =< (-1/n)* intégrale sur {Y<(-1/n)} = (-1/n)*P(Y<(-1/n)) <0

je comprend pas cette expression : (-1/n)* intégrale sur {Y<(-1/n)}, pourquoi on multiplie par (-1/n) et où est passer le Y ?

Ouais c'est grosso modo ce que j'ai fait sauf que le "ce qui implique que l'intégrale sur B de E(X|g) est < 0" est plus détaillé.

Sur l'ensemble G = {Y<-1/n} tu peux majorer Y par -1/n (oui oui j'enfonce une porte ouverte).
Du coup (intégrale sur G de Y) < (intégrale sur G de -1/n).

Et (intégrale sur G de -1/n) ça fait -1/n * P(G).

ok donc cette partie là n'a servi qu'a dire que l'intégrale sur G de Y était inférieur à 0,

Et pour l'absurdité c'est ça > "intégrale sur G de Y = intégrale sur G de X >=0
avec intégrale sur G de Y <0 "

car en fait l'intégrale sur G de X c'est égale l'espérance de X qui est égale à X, c'est ça ?

Intégrale sur G de Y est < 0.
Intégrale sur G de X est >=0 (X est >=0 donc son intégrale sur n'importe quoi est >=0 ).
Or ces deux intégrales sont égales. C'est absurde.

"car en fait l'intégrale sur G de X c'est égale l'espérance de X qui est égale à X, c'est ça ? "

Ça par contre non. L'espérance de X c'est l'intégrale de X sur Oméga. Et c'est pas égal à X, qui est une var, c'est un réel.

X g-mesurable , E(X|g) = X pourquoi ça alors ?

Ça c'est vrai, mais ça n'a rien à voir avec ton énoncé. Ici il n'est dit nulle part que X est g-mesurable (et si elle l'était l'exo serait trivial...).

non ça n'a rien à voir c'est une propriété du cour spa trop évident et merci pour l'aide

Elle est pas difficile à montrer cette propriété.

Si une var Y est L1, g-mesurable, et qu'elle vérifie :
pour tout B dans g, intégrale sur B de X = intégrale sur B de Y.

Alors Y = E(X|g). (C'est une caractérisation de l'espérance conditionnelle.)

En appliquant ça avec Y = X g-mesurable, la propriété est claire.

De rien.

Salut, je reviens sur cette propriété" X g-mesurable , E(X|g) = X" parce que ça ne me parle vraiment pas.
pourquoi tu dis "alors Y = E(X|g) " ??????
et on applique quoi à Y = X g-mesurable ?

il y aurait pas un exemple concret pour comprendre ça ? par exemple en utilisant un jeu de dès, je sais pas