Bonjour à tous,
je bloque sur un exo:

E désiqne l'espace vectoriel R^3, e désigne l'indentité , u étant un endomorphisme de E, on note: u^0=e, u^1=u ,...
Etant donné un réel k, on note Ak l'ensemble des endomorphismes de u de E tels que u^2=ku

On considère un vecteur v=(v1,v2,v3) de E tel que v1+v2+v3=-1 et on note l'application u définée sur E par: pour tout vecteur x=(x1,x2,x3) appartenant à E, u(x)=x+(x1+x2+x3)v

Je dois montrer que u est un endomorphisme de E et qu'il existe k tel que u appartienne à Ak et en déduire que pour tout réel réel k, un élément de Ak

Auriez vous des idées svp, merci d'avance.

Montrer que u est un endomorphisme y'a pas de difficulté, suffit de montrer que u est linéaire.
Ensuite calcule u^2(x) et regarde ce que ça donne.

u^2(x)=u(u(x))
=u(x+(x1+x2+x3)v)
=u(x)+u((x1+x2+x3)v)

je ne vois pas comment montrer que u^2=ku
comment faut-il faire?

Termine le calcul. Ça fait quoi u((x1+x2+x3)v) ?

Merci, j'ai réussi à montrer que u est un endomorphisme de E et qu'il existe k tel que u appartienne à Ak.

Par contre, je ne vois pas du tout comment en déduire, pour tout réel k, un élément de Ak

Auriez vous des pistes svp ?

Tu as essayé par dichotomie ?

pour tout a € R, il existe k € R tel que (au)² = k au, mais après je vois pas trop comment faire ...

J'ai fait quelque chose mais je ne suis pas sur que cela soit bon:

on chercher f telp que f²=kf
or, d'après ce que j'ai montré précedemment: u²=u
donc k²u² = k²u
donc (ku)²= k²u

En posant f=ku on a f²=ku donc f=ku

Est-ce ça ?

"En posant f=ku on a f²=ku donc f=ku "

Gné ?

En posant f = ku, on a f² = kf.