Salut à tous!

Je voudrais savoir si quelqu'un pouvez m'expliquer comment faire des equations du 2nd degrès, puisque j'ai était absent pendant un pas mal de temp, j'ai pas pu rattraper et j'ai un gros DS demain.
ENfin bref, j'ai évidemment cherche sur le net, mais je vous avoue que je comprend pas à grand chose.

Je précise que je sais faire les equations du 1er degrès.

Merci.

Factoriser avec identités remarquables puis produit nul

Les polynomes du second degré sont de forme ax²+bx+c
pour savoir combien il y a de solutions on applique delta = b²-4ac
si delta<0 pas de solution
si delta=0 une seul solution qui est -b/2a
si delta>0 deux solutions qui sont notées x1= -b-(racine de delta)/2a
et x2 = -b+(racine de delta)/2a

exemple: 2x²-2x-12, a=2, b=-2,c=-12
delta= b²-4ac = 2² - 4 x 2 x -12 = 100
x1= -b-(racine de delta)/2a = 2 - (racine de 10)/2x2 = 8/4 = 2
x2= -b+(racine de delta)/2a = 2 + (racine de 10)/2x2 = 12/4 = 3

Une équation du 2nd degré est de la forme : ax² + bx + c = 0. Résoudre ce genre d'équation revient à calculer en 1er le discriminant delta défini par b² - ac. 3 cas alors sont possibles :

Si delta < 0 : l'équation n'admet pas de solution.

Si delta = 0 : elle admet une solution telle que x = -b/2a.

Si delta > 0 : elle admet 2 solutions telles que x1 = (-b-V(delta))/2a et x2 = (-b+V(delta))/2a.

Pour être plus clair, je te donne un exemple par cas :

Si tu as f(x) = 2x² + 3x + 4 = 0.

delta = b² - ac où a = 2, b = 3, c = 4, donc 3² - 4*2*4 = -23. f(x) n'a alors pas de solution.

Si tu as g(x) = x² + 4x + 4 = 0.

delta = b² - ac où a = 1, b = 4, c = 4, donc 4² - 4*1*4 = 0. g(x) admet alors une solution telle que x = -b/2a = -4/2*1 = -2.

Si tu as h(x) = 3x² + 5x + 2 = 0.

delta = b² - ac où a = 3, b = 4, c = 2, donc 5² - 4*3*2 = 1. g(x) admet alors 2 solutions telles que x1 = (-b-V(delta))/2a = (-5-V(1))/2*3 = (-5-1)/2*3 = -1 et x2 = (-b+V(delta))/2a = (-5+V(1))/2*3 = (-5+1)/2*3 = -2/3.

J'espère t'avoir aidé

Dans mon dernier exemple, j'ai écrit que b = 4 mais c'est b = 5, mais j'ai quand même raisonné avant b = 5, donc le résultat ne change pas.

Je vous remercie !

J'note sa de suite.

Si on te demande le max et minimum

Elle atteint son max/min en x = -b/2a et f(-b/2a) = -delta/4a

En gros, la démonstration (a l'air dur mais en fait non. Permet de comprendre pourquoi on pose tout ça):

On pose a b et c, trois réels avec a non nul et tu cherches les valeurs de x pour lequel ax^2+bx+c = 0

ax^2+bx+c = a(x^2 + (b/a)x + (c/a) )

= a(x^2 + (2b/2a)x + (c/a) + (b^2/4a^2) - (b^2/4a^2) )

(j'ai juste additionner par (b^2/4a^2) - (b^2/4a^2) = 0

= a (x^2 + 2. (b/2a)x + (b^2/4a^2) + (c/a) - b^2/4a^2))

(j'ai juste réaligné les termes pour faire apparaître (a+b)^2

= a ( ( x+(b/2a) )^2 - (b^2 - 4ac)/(4a^2) )

On pose delta = b^2-4ac,

d'où ax^2 +bx + c = a( ( x+(b/2a) )^2 - delta/4a^2 )

Donc, supposons que tu as à résoudre ax^2 + bx + c = 0

<=> a( (x+(b/2a) )^2 - delta/4a^2 ) = 0

Or a est supposé non nul, d'où

(x + b/2a)

note la méthode,résous en 3 pour comprendre le principe et va dormir

Merde erreur de touche:

Donc (x + b/2a)^2 = delta/4a^2

une racine carré: x + b/2a = V(delta)/2a OU -V(delta)/2a

On fout le b/2a à droite: x = (Vdelta - b)/2a
OU (-Vdelta - b)/2a

Voilà pourquoi delta doit être positif pour que ton polynome ait une solution à 0.

On peut aussi le voir de cette manière:

comme d'où ax^2 +bx + c = a( ( x+(b/2a) )^2 - delta/4a^2 )

Puisque a est non nul, et que (x+b/2a)^2 est positif

alors delta/4a^2 doit être positif (s'il est négatif, le - lui fait devenir un +, et ton gros facteur sera STRICTEMENT positif).

Et comme 4a^2 est positif, alors delta doit aussi l'être.

Autre chose, un delta négatif signifie donc que la courbe représentative de la fonction f:x-> ax^2+bx+c garde un signe constant et ne touchera donc jamais l'axe des abscisses (puisqu'il n'a pas de solution pour que f(x) = 0)

Mais ça veut pas dire que le polynôme n'existe pas !