Bonjour,
J'ai un problème sur une question de spé maths.
Voilà l'énoncé:
1. (a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
(b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^10 par 11.
(c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2^2009 + 2009 par 11.
2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre
A(n) = 2^n +p.
On note d(n) le PGCD de A(n) et A(n+1).
(a) Montrer que d(n) divise 2^n.
(b) Déterminer la parité de A(n) en fonction de celle de p. Justifier.
(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la parité de d(n) en fonction de celle de p.
En déduire le PGCD de 2^2009 +2009 et 2^2010 +2009.
Donc je pense avoir à peu près réussi à tout faire, la question qui me pose problème est la 2.(c).
Voilà comment je suis parti:
d(n)=PGCD(A(n),2^n) (ça je l'ai montré dans le 2.(a) )
d(n)=PGCD(A(n)-2^n,2^n)
d(n)=PGCD(p,2^n)
- Si p est pair alors p s'écrit de la forme p=2k avec k entier.
On a alors d(n)=PGCD(2k,2^n)
d(n)=2*PGCD(k,2^(n-1)) (n supérieur ou égal à 1 donc 2^(n-1) supérieur ou égal à 1)
Donc d(n) est un nombre pair
- Si p est impair alors d(n) divise un nombre impair donc d(n) est impair.
Logiquement puisque la question était "déterminer la parité de d(n) en fonction de celle de p" j'aurais pensé que cela était suffisant...sauf que j'arrive pas à partir de ces résultats pour répondre à la question d'après ("En déduire le PGCD de 2^2009 +2009 et 2^2010 +2009.").
Je me suis dit que peut-être il fallait trouver la valeur de d(n) quand p était impair (car avec n=2009 et p=2009 et on a bien
d(n)=PGCD(2^2009+2009,2^(2009+1)+2009)=PGCD(2^2009
+2009,2^2010+2009)
=PGCD(A(n),A(n+1)) donc si on a la valeur de d(n) quand p est impair on peut répondre directement...)
Enfin bref je ne sais pas trop quoi faire! Merci à vous d'avance 
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