Bonjour à tous,

je bloque sur un exercice, je dois montrer que

Pour tout x appartenant à [0,1[, x =< -ln(1-x)

et en déduire que pour tout n appartenant à N*, 1+ 1/2 + 1/3+ 1/4 +.....+ 1/n =< 1 + ln(n)

Je ne vois pas comment commencer, auriez-vous des idées svp?

ps: =< c'est inférieur ou égal

Merci :=)

T'aurais une idée sur la 2è inégalité ?

Pour tout k != 1, 1/k <= ln (1/(1-1/k)) = ln (k/(k-1)) d'après ln(a^b) = b*ln(a) et ta première question

Utilise maintenant ln(ab) = ln a + ln b (qu'on peut étendre à un nombre quelconque de facteurs dans le produit du ln de gauche) pour établir l'inégalité désirée.

Plutôt ln a + ln b + ... + ln z = ln (ab...z) (on transforme une somme de ln en le ln d'un produit)

Aussi, k € N

j'ai pas vraiment compris, tu pourrais ré expliquer stp.

Ton inégalité n'est vraie que pour x € [0, 1[. Je pose x = 1/k, k € N \ {0, 1}. On a bien 0 < x < 1. Maintenant - ln (1 - x) = ln (1/(1-x)) d'après ln(a^b) = b*ln a.

Du coup, avec notre changement de variable : 1/k <= ln (1/(1 - 1/k)) = ln (k/(k-1))

D'où : 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n <= 1 + ln (2/(2-1)) + ln(3/(3-1)) + ... + ln (n/(n-1))

Il te reste qu'à montrer que la somme des ln du membre de droite vaut ln n

Merci