Bonjour, je fais un exercice, mais je ne comprends pas la correction :

On me dit que :

Soit f : [0;+oo[[0;2pi[ -> R²
(x;y) |------------------> (x cos y;x sin y)

f est-elle injective ? Surjective ?

La correction dit que f n'est pas injective en disant "Pour tout (y;y0) élément de [0;2pi[², f ((0;y)) = f ((0;y0)) et f n’est pas injective."

Mais je ne comprends pas pourquoi, car si je reviens à la définition :
f est injective <=> Ker f = {0}.

Donc là il faut que pour (x;y) donnés, f(x;y) = 0.
Si je prends le couple (0;0), alors on a bien f(0,0) = (0,0) non ? Donc Ker f = {0}.

Merci.

"f est injective <=> Ker f = {0}"

f est linéaire ?

f n'est pas linéaire effectivement.

Irontournament6 > Imaginons f linéaire et ker f ={0}, ça se traduirait comment alors ?

Si f est linéaire et que son noyau est réduit au vecteur nul alors elle est injective.

Mais toi tu as dit f(0)=0 => ker(f)={0} ce qui est faux.
Ça implique seulement que {0} inclus dans le ker de f (ce qui est tout le temps vrai si f est linéaire).

Pour montrer que Ker(f) inclus dans {0}, faut prendre x tel que f(x)=0 et en déduire que x=0.

Pour en revenir à l'exercice, la vraie définition de l'injectivité c'est :
pour tout x,y, f(x)=f(y) implique x=y.
ou
pour tout x,y, x != y implique f(x) != f(y)

Oui oui en efet je viens de me rendre compte de ma connerie, merci de votre aide.