Bonjours à tous, je dois étudier les variations de la fonction

f:x |-> (x²-x+1)/sqrt(x²+1) * exp(Arctan(1/x))

J'ai calculé la dérivée et après simplification, je trouve:

f'(x) = exp(Arctan(1/x)) * (x^3-x^2+2x-2)/(sqrt(x^2+1)*(x^2+1))

Comment faire pour trouver le signe de cette dérivée afin de pouvoir étudier les variations de f ? Quelqu'un pourrait-il m'aider svp.

Yop,

pour déterminer le signe de la dérivée, tu peux te débarrasser des éléments "inutiles".
exp > 0 et une puissance strictement positive d'un x >0 est >0

Donc e^Arctan(1/x) > 0 sur R*
De plus x²+1 > 0 donc (x²+1)^(3/2)=(x²+1)sqrt(x²+1) > 0

Donc ta dérivée est du signe du polynôme restant, à savoir P(x)=x^3-x²+2x-2.
On remarque une racine évidente : 1 (1-1+2-2 = 0) donc on peut le factoriser par x-1

On obtient P(x) = (x-1)(x²+2)
Plus qu'à étudier le signe de P et c'est gagné

Merci bien

Après, on me demande de déterminer les points d'inflexion de f.
Je sais que c'est les points en lesquels f" s'annule en changeant de signe. Cependant le calcul de f " est assez ignoble et je ne pense pas pouvoir résoudre f "(x)=0 .

Auriez-vous une technique pour trouver les points d'inflexion svp ?

La dérivée seconde n'est pas si compliquée à calculer malgré les apparences, juste faire ça proprement sur un brouillon, et ne pas aller trop vite dans les calculs

Sinon, je ne vois pas trop comment faire autrement

j'ai calculé la dérivée seconde et j'ai trouvé:

f " (x)= ( sqrt(x^2 +1) * (-1,5x^3 +x^2 +2x+2)) / (x^2 +1)^3

C'est un peu pareil qu'avant , f "(x) est du même signe que -1,5x^3 +x^2 +2x+2 mais là je ne trouve pas de racine évidente et je ne peux donc pas trouver le signe.

Auriez-vous des idées svp.

Pour ma part, j'ai trouvé :

f''(x) = e^(Arctan(1/x))(2x+4)/(x²+1)^(5/2)

Je pense que c'est ça, mais ça me semble presque trop simple

Ok, je vais revoir mes calculs alors

Après avoir refait mes calculs, je trouve:

f " (x) = exp(arctan(1/x)) * (-3x^4 + x^3 + x^2 + 3x + 4) / sqrt(x^2+1)*(x^2+1)^2

ça m'arrange pas, tu pourrais me dire comment t'as fait pour trouver f ''(x) = e^(Arctan(1/x))(2x+4)/(x²+1)^(5/2) stp

cet exo dégueulasse

Voilà mon brouillon, en espérant que ça soit compréhensible :
http://s4.noelshack.com/old/up/numeeriser2-35f8ad517.jpg

Merci
ça m'a l'air d'être ça