Bonjour, j'ai besoin d'aide sur une démo pour des suites svp :

Somme de 1 jusqu'à n de k(k+1) = (n+1)(n+2)/3

et

n! >= 2*(n-1)

Voilà, j'ai aucune idée de par où commencer en fait...

• la 2ème c'est 2^(n-1) pardon

n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1 > n*(n-1)
Si n >= à 2, t'as ce qui faut. Et tu regardes ce que ça donne en 0 et en 1.

Pour ton premier truc:
soit tu connais la somme des k^2 (n*(n+1)*(2n+1)/6) et la somme des k (n*(n+1)/2) et tu sommes,
soit tu fais une récurrence.

je vois vraiment pas comment faire une récurrence là...

je connais cela dit n(n+1)/2 , mais je vois pas comment y arriver...

" n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1 > n*(n-1) "

C'est une écriture acceptable dans une copie où pas ?

Et j'ai précisé ensuite que je m'étais trompé, c'est pas 2*(n-1) mais 2^(n-1)

Les deux par principe de récurrence

Pour le 1er et le 2ème je te donne le début de l'hérédité:

-1er:

Soit n€N tel que P(n) soit vraie,
alors Somme de 1 jusqu'à n de k(k+1) = (n+1)(n+2)/3
Donc Somme de 1 à n+1 de k(k+1)=(n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2) ....

-2ème

Soit n€N tel que P(n) soit vraie,
alors
n! >= 2*(n-1)
et (n+1)!=(n+1)*n! donc...

-1er:

Soit n€N tel que P(n) soit vraie,
alors Somme de 1 jusqu'à n de k(k+1) = (n+1)(n+2)/3
Donc Somme de 1 à n+1 de k(k+1)=(n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2) ....

=(n²+3n+2)/3 + (3n²+9n+6)/3

=(4n²+12n+8)/3

Je comprends pas le principe en fait là ...

-2ème

Soit n€N tel que P(n) soit vraie,
alors
n! >= 2*(n-1)
et (n+1)!=(n+1)*n! donc...

(n+1)*n! >= 2^n

?

Mais, merci de m'aider en tout cas, c'est très gentil à vous

Pour la première on veut montrer que la propriété est vraie au rang n+1 donc que
Somme de 1 à n+1 de k(k+1)=((n+1)+1)((n+1)+2)/3 =(n+2)(n+3)/3

or (n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2)= (4/3)(n+1)(n+2)=4*(n²+3n+2)/3
il doit y avoir un problème dans ton énoncé

Pour le deuxième:
(n+1)!=(n+1)*n!
donc (n+1)*n!>=2*(n-1)*(n+1)
(n+1)!>=2(n²-1)

tu veux montrer que n²-1>n pour conclure
tu considères le trinôme en x: x²-x-1 ,delta=5 donc ses racines sont 1-V(5)/2 et 1+V(5)/2

la première on s'en fout un peu vu que c'est les nombres négatifs(on travaille sur des entiers positifs),et la deuxième, 1+V(5)/2 est plus petite que 2 (parce que V(5) est plus petit que 3)
donc pour tout n plus grand que 3 n²-n-1>0 donc n²>n+1

Ainsi
(n+1)!>=2(n²-1)>2((n+1)-1) donc la propriété est vraie au rang n+1,tu n'as plus qu'à conclure

c'est peut être un peu lourd comme raisonnement à ce niveau mais tu as pas le choix si tu fais une réccurence,vérifie ton énoncé pour la première

j'ai utilisé mon logiciel de calcul pour ton premier énonce,c'est n(n+1)(n+2)

/3 bien sur

OUI MILLES EXCUSES , j'ai mal recopié l'énoncé ( le n s'était fait la malle )

Donc oui, c'est bien cette formule qu'il faut démontrer

et j'étais arrivé à (n+2)(4n+4)/3

= 4(n+2)(n+1)/3 , ) partir de là,

on fait comment pour retomber sur n(n+1)(n+2)/3 ?

(t'utilise quel logiciel de calcul ? )

pour la 2ème, c’est pas un produit avec 2*(n-1), mais un exposant.
2^(n-1)

J'ai pas envie de refaire les calculs pour le premier,mais en gros pour le passage à la récurrence

Somme de 1 à n+1 des k(k+1)=[Somme de 1 à n des k(k+1)]+(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2) et tu mets tout au même dénominateur en essayant de te ramener à (n+1)(n+2)(n+3)/3,ou alors tu développes tout et tu développes aussi (n+1)(n+2)(n+3)/3 et tu vérifies que t'obtiens la même chose

pour la deuxième:
(n+1)!=(n+1)*!
n!>=2^(n-1)
donc (n+1)!>=n*2^(n-1)

Deux cas:-si n=1, 2!=2 et 1*(2^(1))=2 donc (n+1)!>=n*2^(n)
-si n>=2 alors n*2^(n-1)>=2^(n)

Okay merci super, je te remercie beaucoup pour ton aide, juste pour savoir , t’utilise quel logiciel de calcul ?

et pourquoi t'as fait 2 cas différents pour la 2 ? Ils sont impossible à traiter ensemble ?

S’arrêter à cette ligne était pas suffisant ?

donc (n+1)!>=n*2^(n-1)