Bonjour !

Comment prouver que le composée d'isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes ? J'ai longuement cherché sur internet mais n'ai rien trouvé...
Vous pourriez m'aider ? Merci !

Désolé, je suis con : composée de deux bijections => une bijection, composée de deux morphismes => un morphisme.

Salut !

si f et g sont des isomorphismes alors elles sont injectives

Soit (x1,x2) deux éléments du groupe de départ
f(x1)=f(x2)=>x1=x2
donc gof(x1)=gof(x2)=>f(x1)=f(x2)=>x1=x2

Ainsi gof est injective

f et g sont aussi surjectives
donc pour tout élement x dans le groupe de départ,il existe y dans le groupe tq y=f(x),et en particulier pour tout élément f(x)dans le groupe d'arrivée il existe y2 tq y2=gof(x)

donc gof est surjective

donc fog est bijective
g et f jouaient des rôles symétriques donc gof est également bijective en échangeant les rôles dans la démonstration

bon bah ça m'aura fait faire un petit exo

Désolé ^^ !

Hormis cela, j'ai lu que tu n'as pas parlé d'isomorphisme ; c'est parce qu'un isomorphisme et une fonction injective, c'est la même chose ?

Ben non un isomorphisme est un morphisme bijectif, donc injectif et surjectif.

en dimension finie pour un endomorphisme injectif et bijectif c'est pareil sinon