bonjour j'ai un exo j'arrive pas à le faire, comment exprimer X1 en fonction de U et T avant ?

Soient X1, X2 deux v.a réelles indépendantes de même loi N(0,1). Soient U = X1-X2 , T= X1+X2

1. Montrer que pour tout lambda appartient à R
E(e^(it(lambda)X1)|U) = E(e^(i*(lambda)U/2)*e^(-(lambda)²/4)

Indication : on commencera par exprimer X1 comme combinaison linéaire de U et T

X1 = (U+T)/2

il faut calculer la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite en (U+T)/2 ? mais ça me donne
E(e^(il(U+T)/2)) = e^(-l²/2)
car la fonction caractéristique de la centrée réduite c'est e^(-t²/2)
je note l-> "lambda"

Euh là c'est pas juste une fonction caractéristique, y'a une espérance conditionnelle quand même. Tu es sûr de l'énoncé ? J'ai pu me tromper mais moi je trouve juste exp(i*lambda U/2)*exp(-lambda²/4).

"la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite en (U+T)/2" ça n'a pas de sens. (U+T)/2 c'est une variable aléatoire, pas un réel.

dsl je galère beaucoup en maths en ce moment
je voulais dire qu'une fonction caractéristique s'écrivait comme ça > E[e^(itX)] et moi je me disais qu'on remplacait "X" par (U+T)/2, c'est peut-être faux.
Et comment tu calcules si c'est une espérance conditionnelle ?

Je suis pas sûr de moi mais je te mets quand même mon calcul...

E(exp(ilambda(U+T)/2) | U) = E(exp(ilambdaU/2)*exp(ilambdaT/2) | U)

exp(ilambdaU/2) est sigma(U)-mesurable donc on peut la sortir de l'espérance conditionnelle.
Ça donne donc exp(ilambdaU/2)*E(exp(ilambdaT/2) | U).
Comme T et U sont indépendantes, exp(ilambdaT/2) et U le sont aussi.
Donc E(exp(ilambdaT/2) | U) = E(exp(ilambdaT/2))
Et ça c'est la fonction caractéristique de T évaluée en lambda/2, donc exp(-lambda²/4).

Donc au final ça donne exp(ilambdaU/2)exp(-lambda²/4) mais apparemment c'est pas ce qu'il faut trouver, donc soit j'ai fait une erreur, soit ton énoncé est faux.

Non j'ai fait une erreur dans l'énoncé, ce que t'as fais est bon. Je voulais juste savoir comment tu trouves exp(-lambda²/4) ?

si je prend la forme générale : E[e^(itX)], tu remplaces le t par lambda/2 c'est ça ?? car la fonction caractéristique en t ça donne e^(-t²/2) donc si c'est en lambda/2 c'est e^(-(lambda/2)²/2).

Je sais que c'est faux mais on fait comment exactement ?

La fonction caractéristique de T c'est exp(-t^2).