Bonjour, dans mon chapitre sur l'espérance conditionnelle en générale il y a 4 propriétés, j'ai pas bien compris l'une des propriétés qui s'énonce comme suit :

Si Y1 et Y2 2 v.a et Y1 est sigma(Y2)-mesurable
E[E[X/Y1]/Y2] = E(X/Y1)

E[E[X/Y2]/Y1] = E(X/Y1)

qu'est ce que c'est ce sigma mesurable ?? et pourquoi c'est égale à ça ? j'ai dû mal à me faire une image de ces deux propriétés, si vous pouvez m'éclairer, merci.

Sigma(Y1) c'est la tribu engendrée par Y1.
Si Y1 : Oméga -> (E,B), simga(Y1) = {Y1^-1(A), A € B}.

L'espérance conditionnelle sachant une variable aléatoire c'est l'espérance conditionnelle sachant la tribu engendrée par cette variable aléatoire.

Si Y1 est sigma(Y2) mesurable, alors la tribu engendre par Y1 est incluse dans la tribu engendrée par Y2. C'est de là que vienne ces égalités.

merci pour ta réponse mais j' ai pas compris,
c'est quoi la tribu engendrée par Y1 ? la tribu c'est l'espérance conditionnelle : E(X/Y2) ?

Je te l'ai dit, c'est la tribu constituée des images réciproques des éléments de la tribu sur l'espace d'arrivée (en fait c'est la plus petite tribu qui rend Y1 mesurable).

ok et dernière question, t'avais écris que P(X1/X1+X2=n) = P(X1=k ; X2 = n-k) car X1+X2 = n et X1 = k donc X2 = n-k.

mais quand on a déterminer la loi de (X1 , ..., Xp-1) conditionnellement à X1+...+Xp = n on fait comment ?

est-ce la même démarche ? par exemple
P(X1 inter X2 ...inter Xp ) = P(X1 = k1 ; X2 = k2 ..; Xp=kp)
en notant X2 = n-(k1+...+kp) par exemple ?