Bonjour à tous !

J'ai un petit exo de variable aléatoire / densité / intégrale que je n'arrive pas à faire , je suis bloqué à une question.

Merci de votre aide :

Exercice

1) Soit a et b 2 réels distincts ,détermine un unique couple d , e tel que pour tout a , b on a

1/ ( t-a)(t-b) = d / (t-a) + e/(t-b)

=> Réponse = d = 1/b-a et e = 1/(b-a) aussi

2) a) f(x) = landa / 1+ x²

Déterminer Landa

=> Réponse : Landa = 1/Pi

b)déterminer une densité de la variable U = ln | X | notée g

=> Réponse :

g(x) = (2/Pi) *( e(x) / (1+e(2x) )

c) Soit Z = Ln ( |XY| ) , déterminer aussi une densité ( faire un changement de variable pour utiliser remarque du 1)

et c'est là que je bloque !

J'ai fait le changement de variable et j'arrive à avoir un a et un b

=> g(x) = 2/PI² * e(x) * L'intégrale de 0 a +00 de ( 1/ ( 1+u) (u+e(2x)) du

Donc là par identification du 1)

a= -1 b=-e(2x)

et donc avec 1)

g(x) = 2/PI² * L'intégrale de 0 a +00 de ( d / u+1 ) + ( e / u+ e(2x)

Ensuite je n'arrive pas à prolonger le calcul , je sais que c'est un peu compliqué mais je remercie vivement celui qui arrivera à m'aider

Ensuite il faut déterminer une densité de la variable T = |XY|

Je sais pas comment faire non plus

Merci !