Bonjour, j'ai besoin d'aide :

On dispose dans une maison individuelle de deux systèmes de chauffage, un chauffage de base et un chauffage d'appoint. On dira qu'on est dans l'état 1 si seul le chauffage de base fonctionne, et dans l'état 2 si les deux systèmes fonctionnent.
Si un jour on est dans l'état 1, on estime qu'on y reste le lendemain avec probabilité de 1/2 ; si par contre on est dans l'état 2, la maison étant mieux chauffée,on estime qu'on passe dans l'état 1 le lendemain avec probabilité 3/4.
Soit (Xn) l'état du système au jour numéro n ; on fait l'hypothèse que (Xn) est une chaîne de Markov homogène.

1. Déterminer sa matrice de transition et son graphe

2. Soit pn = P(Xn = 1). Déterminer une relation de récurrence entre pn et pn+1, puis exprimer pn en fonction de p0. Que vaut lim n->infini pn ?

Pour le 1. j'ai réussi à faire mais pour le 2. je bloque.
Merci de votre aide.

pn+1 = P(Xn+1 = 1)
A partir de ça tu pourrais conditionner par les valeurs de Xn, et avec la formule des probas totales ça devrait marcher je pense.

Les chaines de Markov

Les martingales

Pourquoi on fait pn+1 = P(Xn+1 =1 ) ?? c'est parce qu'on veut toujours être dans l'état 1 tous les lendemains ?

en fait ça donne :

P(Xn+1 = 1 ; Xn = 1 ) + P(Xn+1 =1 ; Xn=2)
je saute quelques étapes et ça donne :
pn+1 = (-1/4)pn + 3/4

Ensuite c'est là que j'ai pas compris, c'est écrit :

On cherche a telle que (Pn+1 -a) = (-1/4)*(pn -a)

a = 3/5

3/5 + (1/4)*(3/5) = (5/4)*(3/5) = 3/4
pn-(3/5) = (-1/4)*(pn-3/5)
pn = (-1/4)^(n) * (po- 3/5) + 3/5

comment on fait pour trouver 3/5 ? et comment on passe de "(-1/4)*(pn-3/5) " à "(-1/4)^(n) * (po- 3/5)" ?
merci

petite aide ?

p(n+1)=P(Xn+1=1) par def de p(n)
Et sinon la fin de ce que tu dis c'est de niveau term, c'est juste une bête suite géométrique

le 3/5 tu fais comment ?

C'est juste une identification avec pn+1 = (-1/4)pn + 3/4