Bonjour, j'ai pas bien compris cet exo, c'est dur :

Somme d'un nombre aléatoire de v.a

Soit (Xi) une suite de v.a i.i.d avec E(Xi) = m et Var(Xi) = v ; on pose Sn = X1 + X2...+ Xn. Soit N : Omega -> N une v.a indépendante de (Xi) avec E(N) = M et Var(N) = V

1. Montrer que E(SN|N=n) = ESn
2. En déduire ESN et VarSN

En fait c'est la 2. que j'ai pas compris

le SN c'est S indice N

merci de m'aider.

D'une part, E(SN|N=n) = ESn = n*m
Ce qui peut encore s'écrire : E(SN|N) = N*m
Ensuite E(SN) = E(E(SN|N)) = E(N*m) = M*m

Pour la Var, tu peux faire un raisonnement analogue.

ESn parce que C'est E(X1) + E(X2) +..+ E(Xn) et comme toute ces espérances sont identique donc c'est n* E(X1) = n*m ?

Mais pour la variance c'est un truck comme ça : M*v + m*V mais pourquoi ?

Même démarche ...

Var(SN) = E(Var(SN|N))

et Var(SN|N) = E(SN²|N) - E²(SN) = E(SN²|N) - (Mm)²

et E(SN²|N) = N*E(X1²) + (N²-N)E²(X1) = N*(E(X1²) - E²(X1)) + N²*E²(X1) = N*v + N²*m²

donc Var(SN|N) = Nv + m²(N²-M²)

donc Var(SN) = E(Nv + m²(N²-M²)) = Mv + m²E(N² - M²)

et E(N² - M²) = E(N² - E²(N)) = Var(N) = V

d'où : Var(SN) = Mv + m²V

(il y a peut-être une erreur dans mes calculs, si on ne tombe pas sur les mêmes trucs, vérifie !)

pourquoi E(SN²|N) = N*E(X1²) + (N²-N)E²(X1) ?

pourquoi avoir rajouter (N²-N)E²(X1) ?

Parce que Sn = somme des Xi² + somme des Xi*Xj

le terme (N²-N)E²(X1) correspond à la somme des Xi*Xj