Salut,

Voici l'énoncé :

On note (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a² où a est un entier naturel non nul; par exemple :
10 = 9 + 1²; 13 = 9 + 2², ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

1) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 2^n, où a € N, n € N et n ≥ 4.
a) Montrer que si a exsite, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

2) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + 9 = 3^n, où a € N, n € N et n ≥ 3.
a) Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou 3 modulo 4.
b) Montrer que si a exsite, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n=2p , où p est un entier naturel tel que p ≥ 2. Déduire d'une factorisation de 3^n - a² que l'équation proposée n'a pas de solution.

3) Etude de l'équation d'inconnue a :
a² + p = 5^n où a € N, n € N, n ≥ 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impain.
b) On pose n=2p. En s'inspirant de 2c), démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a² + 9 soit une puissance entière de 5.

Je n'arrive pas le 2c, après factorisation j'ai (3^p-a)(3^p+a)=9

Donc nécessairement 3^p-a=1 et 3^p+a=9

Mais comment prouver que ça marche pas ?

Merci

ah putain c'est exactement cet exo que la prof m'as envoyé faire au tableau EN ENTIER

je me suis fait lyncher sur ma rédaction " mais les résultats étaient bon "

En même temps on te donne les résultats dans la réponse...

je me suis fait lyncher sur ma rédaction " mais les résultats étaient bon "
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Blue-Hedgehog
Posté le 28 décembre 2011 à 22:25:15
En même temps on te donne les résultats dans la réponse...

Jerry

Du coup je fais comment ?

non ce que je voulais dire c'est la démonstration était bonne juste quelques parenthèses qu'il manquait entre deux " <=> " par là etc

3^p-a=1 et 3^p+a=9

si tu sommes les 2 équations ça donne quoi

Bah non là c'est une multiplication

Lol tu me fais marrer Nils sérieux

N'oublie pas que a est pair, et que par conséquent 9 ne peut plus diviser ni 3^p+a ni 3^p-a d'après le théorème de Gauss.

et p >= 2 donc 3^p >= 9

En gros de toute manière c'est mort parce que 3^p est supérieur a 9 ?

Bourrin comme méthode mais radical