Bonjour dans la démonstration de l'espérance d'une loi de Poisson :

E(X) = Somme de 1 à + infini de k*P(X = k)
= Somme de 1 à l'infini de k* e^(-lambda) * (lambda^k)/ k !
= e^(-lambda) * somme de 1 à infini de lambda^k / (k - 1) !
= lambda*e^(- lambda) * somme de 1 à infini de lambda^(k-1) / (k-1) ! = lambda*e^(-lambda) * e^(lambda) = lambda

je comprend pas les deux dernières lignes comment on arrive à ça ? pourquoi k-1 ?

Vous pouvez voir la démonstration de l'espérance sur Wiki > http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Poisson

merci de votre aide

Indice: exp(u)= somme de 0 a + inf (u^k)/k!

k/k! = 1/(k-1)!

pipoooooooooooooooooooooooooooooooooooooo \ /

merci j'ai mieux compris.

Mais j'ai un autre problème, j'ai dû mal avec les fonctions caractéristique :

Soit a, b € R. Quelle est la loi de aX si X suit une loi exponentielle de paramètre lambda ( je note l).
Quelle est la loi de a + bX si X suit une loi gaussienne N(m, sigma²) (je note s²) ?

Il existe deux méthodes pour la loi exponentielle : la 1ere méthode c'est :

P(aX=<t) = P(X=<t/a) = intégrale de 0 à t/a de l*e^(-l*x) = (e^(-l*t/a) - 1 ) d'où aX suit Exp (l/a)

Ma question est pourquoi l/a ? et comment ferait t-on avec une autre méthode par exemple si on utilisait la fontion caractéristique de la loi exponentielle on tomberait sur l/a mais comment ?

Pour la gaussienne on a :

Phi (a+bX) en (t) = E[ e^(it(a+bX))] = e^(ita)* E[e^(i(tb)X] = e^(ita)* phi X en (tb) = e^(ita)*e(itm)*e^(-(tb)²/2)*s² = e^(it(a+m))*e^((-t²/2)*b²*s²) = Phi N(a + m, b²s²) en (t)

a+bX suit N(a+ m , b²s²)

Et pourquoi sa suit "a+ m" et pas "a+bm " ?

c'est la première fois que je vois ces fonctions caractéristique et j'ai un peu de mal à cerner les différentes étapes pour aboutir à a+m et b²s².
merci.

merci mais pour la fonction caractéristique c'est pas L/(L-ita) plutôt ? et c'est à partir de cette formule que l'on retire L/a ?

Pour la gaussienne t'es même pas obligé d'utiliser la fonction caractéristique. Comme X est gaussienne, bX+a est gaussienne, donc entièrement déterminée par son espérance et sa variance.
Par linéarité de l'espérance, E(bX+b) = bm + a. Et V(bX+a) = b²V(X) = b²s²

Donc bX + a ~ N(a+bm,b²s²).