Bonjour, je galère beaucoup avec la borne supérieur....

Par exemple :

Soient A et B deux parties non-vides et bornées de R. On définit la partie C = { |a-b| tel que a appartient à A et b appartient à B }

1.Montrer que sup C existe.

Bon là je dis que C est non vide car a appartient à A et b appartient à b. Et comme A et B sont bornés, donc majorés alors sup C l'est aussi.
Je suis pas sûr de la rigueur de la démonstration.

Mais la deuxième question me pose plus de problèmes.

2. Montrer que |sup A - sup B | =< sup C.

Je suis parti du fait que pour tout a appartenant à A et b appartenant à B on a :

a =< sup A et b=< Sup B. Mais ensuite je sais pas quoi faire. J'ai pas le droit de soustraire les 2 inégalités d'un coup, donc je fais comment ?

Pour la première question :

Je veux dire que A et B sont bornés et majorés donc Sup C EXISTE.

Sinon pour la deuxième question comme sup C existe alors |a-b| =< sup C
Or ceci est valable pour tout a et b, donc |sup A - sup B | =< sup C. Mais je sais pas si j'ai le droit de dire ça.

En effet c'est pas très rigoureux ta première démo. Déjà C est non vide car A et B sont non vides. Ensuite C est une partie majorée par max(supA,supB,)-min(infA,infB) (à vérifier, pas sûr de moi mais ça doit être dans ce goût là). Donc C admet une borne sup.

Ensuite tu prends a € A quelconque.
Alors a = (a-b) + b =< sup C + sup B.
Ceci étant vrai pour tout a dans A, cela implique sup A =< sup c + sup B.

Je te laisse montrer de même que sup B =< sup C + sup A et conclure.

Merci à vous deux