Bonjour à tous, il y a dans mon DM quelques questions qui me posent problème :

Exercice 1
a = n^3 - n² - 12n b = 2n² - 7n -4
Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le pgcd de a et b
Je ne sais pas comment m'y prendre !
Si ça peut aider, j'ai prouvé précédemment que a et b sont divisibles par n-4

Exercice 2 :

Uo = 14
Un+1 = 5Un - 6

2(a) Montrer que pour tout entier naturel n : Un+2 = Un [4]
Ca j'ai réussi
(b) en déduire que, pour tout entier naturel k, U2k = 2 [4] et U2k+1 = 0[4]

Je ne sais pas du tout comment faire

3(a) montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 2Un = 5^n+2 + 3
ça j'ai réussi

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n : 2Un = 28 [100]
J'ai fais:
2Un = 5^n+2 + 3 = 5^n * 25 + 3
Il faut donc que je montrer que 5^n = 1 [100] mais je ne vois pas comment faire

4 ) Déterminer que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n

Voila merci d'avance pour votre aide

Si a et b sont divisibles par n-4, alors leur pgcd est un multiple de n-4.
Il faudra envisager 2 cas, selon que n est congru à 2 modulo 5, ou non.

Pour la 2b), récurrence sur k.

"Il faut donc que je montrer que 5^n = 1 [100]"

Non ceci est faux. Mais il suffit de montrer que 5^(n+2) est congru à 25 mod 100, pour tout n.

"Déterminer que les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n "

Reformulé ça donne : à quoi est congru U_n modulo 100 ?

J'ai tout pigé sauf pour la première question

J'ai compris que le PGCD était n-4 mais je n'arrive pas trop à le rédiger

Si je met :

Si n est pair :

a est divisible par 2 et par n-4
b est divisible par 2 et par n-4
Or n >= 5 donc si n est pair, n-4 >= 2 donc pgcd(a;b)= n-4

Si n est impair :

a est divisible par n-4 et 1
b est divisible par n-4 et 1
Or n >=5 donc si n est impair, n-4 >= 1 donc pgcd (a;b) = n-4

C'est bon si je rédige comme ça ?

Ça n'est pas une question de parité mais de congruence modulo 5.

Si n est congru à 2 modulo 5, PGCD(a,b) = 5(n-4).
Sinon PGCD(a,b) = n-4.

Il y a des questions intermédiaires ou pas (à part montrer que n-4 divise a et b) ?

1. Montrer que a et b sont divisibles par n-4
2. On pose alpha = 2n+1 et beta = n+3. On note d leur pgcd.
a) Etablir une relation entre alpha et beta indépendante de n
b) Montrer que d est un diviseur de 5
c) Montrer que les nombres alpha et beta sont multiples de 5 ssi n-2 est multiple de 5
3. Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux.

Voila les questions intermédiaires !

Mais je ne comprend pas très bien ton raisonnement

Je n'ai pas fait de raisonnement, j'ai juste donné les réponses pour t'aider, parce que je ne savais pas s'il y avait des questions avant.

En utilisant le fait que a = n(n-4)(n+3) et que b = (n-4)(2n+1) et les questions intermédiaires, tu ne peux pas conclure ?
Déjà est-ce que tu as fait les 3 premières questions ?

Oui j'ai réussi les 3 premières questions, il ne me manque que celle-ci.

Bah je vois pas trop comment faire, j'arrive juste à la conclusion que le pgcd est n-4
Je pense qu'il faut que je me serve du fait que le pgcd de 2n+1 et n+3 est un diviseur de 5 donc est égal à 1 ou a 5 mais je ne vois pas trop comment l'utiliser

Ah je crois que j'ai pigé !!

Si pgcd( alpha ; beta ) = 5 alors pgcd ( 2n+1 ; n+3 ) = 5
a = n ( n-4) (n+3 ) et b = 2(n+1/2) ( n-4) = 2n+1 (n-4)
Donc si pgcd ( alpha ; beta ) = 5 alors pgcd (a;b) = 5 * (n-4 )
Or pgcd (alpha ; beta ) = 5 <=> 5 divise n-2 <=> n = 2 (5)
Donc si n=2(5), alors pgcd(a;b) = 5*(n-4)

Si pgcd (alpha ; beta ) = 1 alors pgcd( 2n+1 ; n=3 ) = 1
a = n ( n-4) (n+3 ) et b = 2(n+1/2) ( n-4) = 2n+1 (n-4)
Donc pgcd( a ; b ) = n-4

C'est ça ?

C'est bon j'ai finis, topic clos.
Merci de ton aide Prauron

C'est pas tout à fait ça, tu n'as pas utilisé le fait que n et 2n+1 sont premiers entre eux.
Si n n'est pas congru à 2 mod 5 tu as :
2n+1 et n+3 premiers entre eux
2n+1 et n premiers entre eux
Donc 2n+1 et n(n+3) sont premiers entre eux. PGCD(2n+1,n(n+3)) = 1 donc PGCD(a,b) = n-4.

Pour le cas où n = 2 mod 5 tu fais le même raisonnement, sauf que cette fois (2n+1)/5 et (n+3)/5 sont premiers entre eux (car dans ce cas PGCD(alpha,beta) = 5).