Bonsoir,

J'aimerais de l'aide sur ces questions svp:

1)Donnez le résultat de la division euclidienne de "X^8 − 1" par "X^2 − 1".

2)En déduire toutes les racines du polynôme "1 + X^2 + X^4 + X^6".

3)Factorisez sur R le polynôme "1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + X^5 + X^6 + X^7".

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1) Je trouve X^6+X^4+X^2+1.
2)Comment déduire svp?
3)Comment?

....

1)Donnez le résultat de la division euclidienne de "X^8-1" par "X^2-1".

Ben les racines de X^8 -1 qui sont pas racines de X^2 -1 sont racines de l'autre truc.

pour le 3 c'est la somme des termes d'une suite géométrique je te laisse deviner la raison et le premier terme

Et pour le 3 fais ce que dis mon vdd et factorise x^8-1 sur R.

Merci de vos réponses

2) je trouve que comme solutions de X^8-1=0 c'est 1 ou -1, et c'est aussi des racines de X^2-1, alors X^6+X^4+X^2+1 n'a pas de solutions?

3)le premier termes, c'est 1 et la raison c'est X^2 donc ça fait la suite géométrique Un=(X^2)^n, mais après?(comment je factorise X^8-1?)

2) X^8 - 1 a d'autres racines complexes.

3) Non la raison c'est X, tu regardes pas le bon polynôme là.
X^8-1 = (x^4+1)(x^4-1) = ...

2)je vois pas, à part 1=e^(-iPI) et -1=e^(iPI)... et après?

3)X^8-1 = (x^4+1)(x^4-1) = (x^4+1)(x^2-1)(x^2+1) = (x^4+1)(x^2+1)(x+1)(X-1)....je fais quoi ensuite stp?

Les racines de X^8-1 c'est les exp(2ikPi/8) avec k entre 0 et 7.

X^4+1 ça se factorise sur R.
Indication : X^4+1 = X^4+2X^2+1-2X^2.

2) j'y arrive pas
3)je trouve
"(X+1)[(x^2+1)^2(X+1)[(X+1)(X-1)-2X]+(X-1)[(X+1)^2
2X^2+4X^3^]]"....

les racines 8-eme de l'unité...

OK, j'ai trouvé..
2)
(X^8-1)=(X-e^0)(X-e^iPI/4)(X-e^iPI/2)(X-e^3iPI/4)(
X-e^iPI)(X-e^5iPI/4)(X-e^3iPI/2)(X-e^7iPI/4)

(X^2-1)=(X-e^0)(X-e^iPI)

donc
(X^6+X^4+X^2+1)=(X-e^iPI/4)(X-e^iPI/2)(X-e^3iPI/4)
(X-e^5iPI/4)(X-e^3iPI/2)(X-e^7iPI/4)