Salut,

Il y a 2-3 choses que j'aimerai comprendre à propos des intégrales (cours de L1).

- Dans quel(s) cas précis utilise-t-on le changement de variable ?
- Je n'ai pas compris la notion de "décomposition en éléments simples" pour les intégrales de fonctions rationnelles (et ce malgré plusieurs exemples et mon cours).
- La méthode du "cache" ça vous dit quelque chose ?

Voilà, par avance merci

On utilise le changement de variable quand ça nous semble utile pour poursuivre un calcul. En fait c'est tellement utile que c'est difficile de faire une liste des cas où on l'utilise. Au même titre que l'IPP c'est un truc qu'on fait vraiment tout le temps quand on fait du calcul intégral.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la decomposition en éléments simples ? Tu ne vois pas à quoi ça sert ? Tu ne sais pas quelle forme elle doit prendre ? Tu n'arrives pas à calculer les coefficients ? La méthode du cache est justement une manière de les déterminer.

Donc quand c'est pas une IPP ou une forme basique du style u'(x) / u(x), on fait un changement de variable ?

Pour la décomposition en éléments simples, je ne comprends pas grand chose enfaite.
J'ai compris qu'il y a des éléments simples de 1ère espèce et de 2ème espèce.
Après, je ne vois pas dans quels cas l'utiliser, quand l'utiliser (s'il faut l'utiliser en complément d'une IPP ou seule par exemple).

Et puis comment utiliser la méthode du cache pour les coefficients aussi. Bref, si t'as THE exemple qui mêle les deux, je suis preneur.

Oui, par exemple si tu trouves pas de primitive et qu'une IPP ne mène à rien tu peux tenter un changement de variable. Avec un peu d'habitude tu sauras quand en faire un et lequel faire.

La decomposition en éléments simples est utile lorsque tu dois intégrer une grosse fraction rationnelle dont tu ne connais pas de primitive. L'idée c'est de la casser en une somme de petites fractions rationnelles (avec du degré 2 au minimum) dont tu sais calculer les primitives. Pour cela il faut commencer par effectuer une division euclidienne pour trouver la partie entière, puis factoriser au maximum le dénominateur du reste.
Bien sûr ça peut d'utiliser en complement d'autre techniques. Par exemple on peut se ramener à intégrer une fraction rationelle à l'aide d'un changement de variable, puis utiliser une decomposition en éléments simples.

au maximum*

Par exemple décompose (3x+1)/(x^2-x-6).

Bon, j'y vois déjà plus clair.

Admettons que j'ai :

x-2 / x(x-1) à intégrer.

J'utilise la méthode du cache et ça me donne :

x/2 - 1/(x-1)
J'ai bien cassé ma première fraction en éléments simples donc (qui sont égales à la première si je fais la soustraction) et je peux primitiver les deux fractions en ln.
Juste?

Si tu veux dire 2/x - 1/(x-1) oui c'est juste.

Cela dit là c'est du u'/u à un coefficient près.

Bon et bien merci pour ces éclaircissements, c'est déjà moins flou !
Je vais essayer de me faire la main sur les changements de variable. Il est (très) possible que je pose encore quelques questions dans la soirée (voire même dans quelques minutes qui sait )

Bon, dans l'exemple (assez classique apparemment) suivant (/ = intégrale)

/[0,1] sqrt( 1 - x²) dx

Je comprends pas pourquoi on a choisi x = cos(t) et dx = -sin(t) ?! Bon je comprends que la dérivée de cos c'est sin. Mais pourquoi cosinus ?
C'est totalement arbitraire ou il y a des règles à suivre dans la sélection de la nouvelle variable ? C'est ça qui me bloque la enfaite.

Effectivement c'est l'exemple classique sur le changement de variable.

Non c'est pas arbitraire, on fait un changement de variable pour obtenir une intégrale plus simple à calculer. Ici si tu appliques la formule de changement de variable, tu te retrouves à intégrer sin^2(t) entre 0 et Pi/2, et là tu peux trouver une primitive.

Là c'est assez simple. Parfois il faut avoir un peu d'intuition (ce qui vient avec l'entraînement) pour trouver le bon changement de variable. Si c'est un truc vraiment tordu et impossible à deviner il se peut qu'on te le donne dans l'énoncé.

D'accord. Du coup, faut un peu visualiser dans sa tête sur quoi on peut tomber en faisant tel ou tel changement...D'accord.