Bonjour, voila, j'ai un exercice à rendre en DM et j'aimerais que vous me disiez si ce que j'ai fais est bon :

La fonction f est définie sur R par :

f(x) = cos(x) - cos²(x)

1) Etudier la parité de la fonction f

J'ai mis : f(x) = cos(x) - cos²(x)
f(-x) = cos(-x) - cos²(-x)
Or cos(-x) = cos(x) et cos²(-x) = cos²(x)
Donc f(-x) = cos(-x) - cos²(-x) = cos(x) - cos²(x) = f(x)
f(-x)=f(x) donc la fonction f est paire

2) Etudier la périodicité de la fonction f

J'ai mis : f(2pi+x) = cos(2pi+x) - cos²(2pi+x)
Or cos(2pi+x) = cos(x) et cos²(2pi+x)=cos²(x) car la fonction cosinus est 2pi - périodique
Donc f(2pi+x)=cos(2pi+x)-cos²(2pi+x) = cos(x) - cos²(x) = f(x)
f(2pi+x) = f(x) donc la fonction f est 2pi-périodique

3)Expliquer en quoi l'étude de f sur [0;pi] permet d'obtenir l'étude de f sur R

J'ai mis : Puisque f est 2pi-périodique, on peut étudier f sur [-pi;pi]. De plus, f est paire, donc par symétrie, on peut étudier f sur [0;pi]

4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations sur [0;pi]

J'ai mis : f(x) = cos(x)-cos²(x)
f est de la forme u-v
Avec u = cos(x) et u'=-sin(x)
v = cos²(x)

v est de la forme wz avec w = cos(x) et w'=-sin(x)
z = cos(x) et z'=-sin(x)

v'=w'z+wz'= -sin(x)cos(x)+cos(x)(-sin(x))

f'(x)=u'-v'=-sin(x)-(-sin(x)cos(x)+cos(x)(-sin(x))
)
=-sin(x)+sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)
=sin(x) ( -1 + cos(x) + cos(x) )
= sin(x) ( 2cos(x)-1)

Voila j'ai juste besoin de savoir si j'ai bon jusque là, si j'ai bon jusqu'ici j'ai bon à la suite, voila merci d'avance

Ok cool
Par contre j'aurais également une autre petite question dans un autre exercice :

On considère dans le plan P rapporté à un repère orthonormal (0; i ; j), le cercle T de centre 0 et de rayon 1. Soit A le point de coordonnées (1;0) et A' le point de coordonnées (-1;0)

1) Par tout point H du segment [AA'] distinct de A et de A', on mène la perpendiculaire delta à la droite (AA'). La droite delta couple le cercle T en M et M'. On pose OH(vecteur) = xi. Calculer, en fonction de x, l'aire du triangle AMM'

J'aimerais juste qu'on me dise si ma justification est bonne pour le fait que AH = 1-x

J'ai dis : HA(vecteur) = HO(vecteur) + OA(vecteur) = -x+1
Donc AH=|1-x|
Or H appartient à [AA'] mais est distinct de A et A' donc -1<x<1
-1<-x<1
0<1-x<2
Donc AH = 1-x

C'est bon ?

3) Montrer que le triangle AMM' d'aire maximale est équilatéral

Pour cette question pareil j'ai besoin d'un avis pour ma justification
D'après les questions précédentes on trouve que l'aire maximale est atteinte pour x= -1/2
Donc pour montrer que c'est équilatéral je voulais les coordonnées de M et M'
Et j'ai justifié ainsi :

M appartient à T, or pour x=-1/2, le point M a pour abscisse -1/2 c'est à dire que (OA;OM)=(2pi/3)(mod2pi) et donc que sont ordonnée vaut (V3)/2 donc M(-1/2 ; V3/2)

Et j'ai fais pareil pour M' en remplaçant 2pi/3 par -2pi/3

Ma justification est-elle bonne ? Merci

Personne ? :'(

J'ai besoin de votre vérification pour recopier au propre !! Personne?

Oui c'est bon. Par contre pour la 1, ton calcul est bon, mais le fait que AH=1-x, c'est évident je sais pas si le calcul est nécessaire ...