Bonjour à tous,
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Je suis bloqué à l'exercice 3) la question a), j'arrive pas du tout à voir comment procéder, j'ai essayé des tas de choses qui ne mènent à rien. La question a pourtant pas l'air si difficile que ça mais je bloque.

Vérifie que u(n+1) - sqrt(2) = (u(n) - sqrt(2))²/(2*u(n)).
Or (u(n) - sqrt(2))²/(2*u(n)) =< (u(n) - sqrt(2))²/(2*sqrt(2)) car u(n) >= sqrt(2).

Merci beaucoup, mais du coup en fait j'avais réussi avec une récurrence.

Maintenant c'est la 3)b) qui pose problème

Récurrence aussi.

Je ne suis pas sur qu'on puisse faire une récurrence lorsqu'ils disent " en déduire "

Easy : tu appliques l'inégalité à chaque fois .

Pour ton Un+1-V2, tu obtiens que c'est inférieur à un truc qui contient Un-V2.

Tu isole le Un-V2 pour montrer que c'est inférieur à un truc contenant Un-1 - V2. Etc jusqu'à U0=2.

Un petite récurrence serait la bienvenue

Si, on utilise la question précédente dans la récurrence.

Ah oui autant pour moi Prauron

Complètement faux on n'a jamais le droit d'utiliser deux fois de suite une récurrences. (Carl Friedrich Gauss)

Je fais comment alors pour la 3)b) ?

Je te l'ai dit, par récurrence, en utilisant a).

L'inégalité en vérifiée pour n = 0. Supposons qu'elle soit vérifiée au rang n. Montrons qu'elle est vraie au rang n+1.
|u(n+1) - sqrt(2)| =< (u(n)-sqrt(2))²/(2sqrt(2)).

Puis tu utilises l'hypothèse de récurrence pour majorer (u(n)-sqrt(2))², et tu trouves l'inégalité au rang n+1.