On se donne P € Gln(C).
Cette matrice se décompose donc sous la forme P=R+iJ, où R et J sont des matrices à coefficients réels.
Prouver qu'il existe to € R, tel que det(R+toJ)=/=0.

Quelqu'un aurait une idée, parce que là je sèche ...

Dans le cas contraire, Q(t) = det(R+tJ) est le polynôme nul. Ce qui est faux, puisque Q(i) est non nul.

On va bien obtenir un polynôme en to, mais le problème c'est qu'il est dans R[X] ... donc impossible de l'évaluer en i, je me trompe ?

Un polynôme de R[X] peut-être vu comme un polynôme de C[X].

X²+1 c'est aussi un polynôme de R[X], pourtant ça ne te choque pas de l'évaluer en i (je suppose). Là c'est pareil.
Et puis si ça te dérange vraiment, considère que R[X] est inclus dans C[X], et donc Q appartient à C[X].

Ah oui exact, j'y ai même pas pensé ...
Merci tout les deux en tout cas !