Salut, je galère un peu sur mon dm http://s3.noelshack.com/uploads/images/517531221702_26102011447.jpg
à la 1)b) notamment.
je veux montrer que phi est un isomorphisme de E vers R^n (en espérant que je ne me trompe pas dès le début ) j'ai réussi à montrer l'injectivité mais la surjectivité, est-ce que dire que chaque f(ai)€R suffit à dire que Imf=R^n ?

Sinon pour la 2)a) je ne vois pas comment la rédiger je sais qu'on va justifier l'unicité de phi avec le fait que phi soit bijective mais cette question reste un peu floue pour moi

Pour la b) c'est bon. La c) je galère. Et pour la 3)a) en faisant PioPi je trouve que Pi est un projecteur seulement si f en est un
Merci d'avance

PS : Toujours pour la 1)b) j'ai pensé à la double-inclusion mais montrer que R^n est inclus dans (f(a0)...f(an)) voilà quoi

Ta fonction est de E vers R^n+1

Pour la 1)b) suffit de montrer que pour tout (b0,...,bn) il existe f appartenant à E telle que f(ak)= bk

Pour cela:
sur [a,a1]
f(x) = b0 + (x-a)(b1-b0)/(a1-a)
sur [a1,a2]
f(x) = b1 + (x-a1)(b2-b1)/(a2-a1)
etc

Pour la 1b c'est R^(n+1)
Et en gros, suffit de montrer que ta phi est injective/surjective
Pour la 2c, suffit d'utiliser le fait que phi est bijective

2)c) :
f(ak)= f(ak) (ouais c'est con )
donc
f = Somme des f(ak) delta ak

Axnyf
Ah oui, R^(n+1) au temps pour moi
Ok pour la surjectivité (j'avais même pas pensé à calculer le coefficient directeur, gg).

Ouais, tout con, je pense qu'ils me demandent de l'écrire sous forme de matrice, ça me donne une matrice diagonale, merci

Par contre, je ne vois toujours pas comment justifier le fait que fof(a0)=f(a0)

Mais c'est faux ce que tu dis..
Pi(Pi(f))= Pi(f(a0)delta0+ ...+ f(an)deltan)
Ta fonction c'est f(a0)delta0+ ...+ f(an)deltan donc si tu l'évalues en a0 ça donne : f(a0)delta0(a0) + ...+ f(an)deltan(a0) = f(a0)
Pareil pour tout le reste donc Pi(Pi(f))= Pi(f)

Par contre oublie pas de montrer qu'elle est linéaire

Ah ouais, je me suis trompé

J'avais écrit ça vers 1h du matin et j'ai confondu la composition par f et la valeur prise de la fonction en a0.

Ça va être marrant à écrire la linéarité ça
Bon, moi je vais me coucher, merci

Dites, pour la 3)a) j'ai trouvé kerPi=0 en utilisant le fait D soit une base et que phi est bijectif. Pour l'image, on a ImPi=E ? (D est génératrice de E)

Pour la b) j'ai utilisé la définition de l'intégrale et ça donne un truc assez moche avec 2 sommes (une pour l'intégrale et une pour l'expression de Pi). En remplaçant par ak=a+kh ça ne change rien à l'intégrale mais je me retrouve avec du f(a+kh). Bref, le problème est que je ne vois pas ce que représente cette intégrale

Un projecteur de noyau vide c'est pas fréquent
Faut que tu fasses attention au fait que f appartient à delta et pas à E

Pour la 3)b) je pense que tu te compliques. Commence par déterminer l’expression de chaque deltak puis fais le calcul de son intégrale.

(c'est une aire de triangle)

Pas bête.

Je me suis dit la même chose, c'est comme si on projetait par rapport à aucun vecteur
On a : (fa0)...f(an))=(0,...,0) donc f est égale à l'élément neutre de E qui est la fonction nulle non ? (ça se démontre vu qu'on a des fonctions affines)
T'as une idée ?

Sauf que là f n'est pas un élément de E, c'est une quelconque fonction continue sur [a,b], donc tu peux pas dire f(a0) = ... = f(an) = 0 => f = 0.

f est une fonction continue c'est tout.
donc on peut avoir
f= sin
et les an qui sont des kPi
f est pas nulle du tout mais Pi(f) =0

ak qui sont des kPi*

Axnyf Je me suis dit la même chose pour le sinus, je viens de comprendre l'erreur, f ici n'appartient pas à E mais à epsilon, je peux pas utiliser Phi ici. Mais alors comment est-ce que je peux interpréter géométriquement le noyau de Pi ?

Pour la 3)b) j'avais déterminé une expression de deltak =(x-ak+1)/(ak-ak+1) je vais voir ce que ça donne.

Prauron Merci j'y avais pas pensé pour le triangle, avec ak=a+kh, les marches se transforment en droite, c'est ça ?