Salut à tous, je bloque sur mon exo de spé maths
J'ai réussi à faire une bonne partie mais je bloque sur la suite

Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couples (x,y) d'entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation :
x²+y²=p² (E)

1. On pose p=2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.
On suppose désormais p2 et que le couple (x,y) est solution de l'équation (E)

2. a) Montrer que x et y sont de parités différentes.
b) Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c) En déduire que x et y sont premiers entre eux.

3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrés non nuls, donc p = u²+v² où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a) Vérifier qu'alors le couple (|u²-v²|;2uv) est solution de l'équation (E).
b) Donner une solution de l'équation (E) lorsque p=5 puis lorsque p=13.

4. On se propose enfin de vérifier sur deux exemples, que l'équation (E) est impossible lorsque p n'est pas somme de deux carrés.
a) p=3 et p=7 sont-ils somme de deux carrés ?
b) Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

J'ai réussi toutes les questions juqu'à la question 2b mais je bloque à la question 2c J'essaie de résonner par l'absurde mais j'arrive pas à tomber sur ce que je veux...
Puis la suite je comprends plus rien

Merci de votre soutient

Donc je prend d = PGCD(x,y)
d divise x et y donc d divise x²+y²=p² c'est bien ça ?

Mais après comment je fais pour arriver à d=1 ?

Je parle bien sûr pour la question 2c où il faut déduire que x et y sont premiers entre eux (donc PGCD(x,y)=1 )

d|p² donc d=1 ou d=p² vu que p est premiers c'est bien ça ?

Ah oui je crois que j'ai trouvé :

Soit d=PGCD(x,y) donc d|x et d|y
donc d|x²+y² ==> d|p²
On en déduit que d=1 ou d=p ou d=p² car p est un nombre premier.

Si d=p, donc p|x et p|y ce qui n'est pas cohérent avec la question 2b.
Si d=p², donc p²|x et p²|y ce qui n'est non plus pas possible.

Donc d=1.

x et y sont premiers entre eux

Si d=p², donc p²|x et p²|y
donc p|x et p|y, on retombe dans le même cas que précédemment.

C'est bien ça ?

Parce qu'on fait une combinaison linéaire de
p²*1/p pour retomber à p|x je pense

C'est bien ça ?

J'ai réussi mais je bloque aux 2 dernières questions :

a) p=3 et p=7 sont-ils somme de deux carrés ?

b) Démontrer que les équations x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

Pour la a), la réponse est bien sûr non mais comment le montrer ?

Pour la b) Je sais bien qu'il n'y a pas de solutions mais comment le démontrer ?

x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs.

donc x²+y²=0(3) or c'est possible que si x^2 et y^2 sont multiple de 3 or le premier carré parfait multiple de 3 est 9 donc c'est impossible
x²+y²=0(7) or c'est possible que si x^2 et y^2 sont multiples de 7(table de congruence) or le premier carré parfait de multiple de 7 est 49 donc c'est impossible

Merci de ta réponse pour la question 4b

Pour la question 4a, il faudrait rédiger comment ?

Par contre y'a un truc que je comprends pas dans ta réponse Sorcor2

C'est la réponse de la 4b ou 4a parce que tu affirmes déjà le résultat à démontrer non ?
"x²+y²=9 et x²+y²=49 n'admettent pas de solution en entiers naturels strictement positifs. "

x²+y²=3 donc par exemple on peut prendre x²=1 et y²=2 (ce ne sont pas des multiples de 3) Comment montrer justement que la solution y²=2 ne convient pas dans l'ensemble des entiers naturels.

Non j'ai repris l'objectif que tu avais écris c'est tout
Et j'ai bien démontrer qu'il y avait pas de solution dans N* regarde mon poste

J'ai mal rédigé
Si x²+y²=9 alors x²+y²=0(3) or c'est possible que si x^2 et y^2 sont multiple de 3 or le premier carré parfait multiple de 3 est 9 donc c'est impossible
Si x²+y²=49 alors x²+y²=0(7) or c'est possible que si x^2 et y^2 sont multiples de 7(table de congruence) or le premier carré parfait de multiple de 7 est 49 donc c'est impossible
voilà c'est plus claire là

En considérant qu'on travail dans N* bien sûr