Salut à tous :D

Voilà j'ai un exercice auquel je n'arrive pas à trouver une solution:

N> ou = 1,
U(n)=1+11+111+...+111...1 (n chiffres 1)

Calculer de manière clair 81U(n)+10+9n

Je ne sais pas ce qu'il faut faire mais j'ai pour l'instant cherché des manières autres d'exprimer Un. Exemple: Un=1234...n (mais qui ne marche plus après 10) ou 1+ sommes des 10^n... Mais ça ne marche pas.

Bref, je suis un peu perdu.

C'est la somme de la somme 10^k , k allant de 0 à m, puis m allant de 0 à n.
En gros, c'est ça : http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sum+%28sum+10%5Ek+%2C+k+%3D+0+to+m%29+%2C+m+%3D+0+to+n%29
Bon, après, ça m'est direct tombé au crâne. Je ne sais pas comment te montrer que c'est bien ça. Au pire des cas, démontre l'égalité entre les deux expressions par récurrence.

Attends, je pense avoir trouvé. Tu vas réécrire chaque terme sous forme de petits sigmas pour que ça apparaisse.
U(n)
= 1 + 11 + 111 + ... + 1111...111 (n chiffres 1)
= 1 + (1+10) + (1+10+10²) + ... + (1+10+10²+...+10^(n-1))
= sum 10^k , k = 0 to 0 + sum 10^k , k = 0 to 1 + sum 10^k , k = 0 to 2 + ... + sum 10^k , k = 0 to n-1
= sum (sum 10^k , k = 0 to m) , m = 0 to n-1.
Ah oui, tiens, ce sera m allant de 0 à n-1, pas n.
Sinon, comme je te l'ai dit, tu peux vérifier ça par récurrence, au cas où. Après, tu simplifies cette double somme grâce aux formules que tu connais, et ça ira.
Rien à voir, mais, tu es en quel niveau ?

En fait j'y suis presque mais il me reste un problème, comment simplifie-t-on cette somme?

sum (10^(n+1)-1)/9

Je n'étais pas réveillé à cette heure, sorry.
Alors, pour simplifier ça, tu rebalances de l'autre côté :
sum ((10^(n+1)-1)/9) , n = 0 to m-1
= (1/9)*(sum (10^(n+1)) -sum (1)) , n = 0 to m-1
= (1/9)*(sum(10^p) -sum(1)) , p = 1 to m (tu poses p = n+1)
Et là, tu peux simplifier.

Voilà!

En tous cas merci beaucoup pour ces réponses claires et rapides