Salut à tous,

Nous sommes dans le chapitre des Développements limités en analyse. Et ça tombe bien parce que, je déteste les DL !

J'ai pas saisi leur intérêt et là j'ai un exercice où on me demande de déterminer des limites.

J'aimerai savoir, comment à partir d'un DL qu'on aura préalablement défini/calculé, on peut déterminer une limite ?
Ou même une dérivée ?

Par avance merci

Petit up.

Si on pouvait m'expliquer ça en partant sur le Dl de exp à l'ordre 3, à savoir :

exp(x) = 1 + x + x^2/4 + x^3/6 + o(x^3)

Moins proche du calcul, un DL consiste à effectuer une approximation d'une fonction au voisinage d'un point à l'aide d'un polynôme. Pourquoi un polynôme ? Parce que ce sont des objets très faciles à manipuler (addition, multiplication, division euclidienne ou selon les puissances croissantes, composition, intégration...). Ainsi, approcher une fonction compliquée peut se faire aisément : il suffit de la décomposer en somme/produit/composée de fonctions plus simples, sur lesquelles on peut faire des DL pour "combiner" ces derniers afin d'obtenir un DL de la fonction de départ. Ce DL peut ensuite être utilisé en lieu et place de la fonction pour des calculs plus aisés (typiquement un calcul de limite).

La notion importante à comprendre est l'ordre du DL : un DL d'une fonction à l'ordre n en un point est la meilleure approximation de cette fonction au voisinage de ce point par un polynôme de degré n. C'est ce que traduit le terme o(x^3) dans ta formule : n'importe quel autre polynôme de degré 3 n'aurait pas une erreur d'approximation aussi faible (elle serait au moins de l'ordre de x^3). Evidemment, plus le degré du DL augmente, plus l'approximation de la fonction devient précise au voisinage du point considéré.

Ta formule donne que
(exp(x) - 1 - x -x²/2)/x^3) = (x^3/6 + o(x^3))/x^3

T'as sauté combien d'étape là ?

Bon ça va j'ai un peux mieux compris avec vos explications.

Mais j'ai encore une question, comment, lors d'un calcul de limite on détermine l'ordre du DL ?
Théoriquement c'est l'ordre le plus bas pour une limite ?
Mais faire un DL à l'ordre 0, ça me paraît un peu trop facile pour ce que c'est.

C'est à voir selon le contexte, tant que tu es sur un truc indéterminé, il faut prendre un ordre de plus.

Un truc qui peut servir :
c'est mieux de dire
exp(x) = 1 + x + x^2/4 + x^3/6 + O(x^4) (grand O)
que
exp(x) = 1 + x + x^2/4 + x^3/6 + o(x^3)

c'est plus précis et ça peut épargner un ordre dans certains cas

En passant, c'est x^2/2 et non pas x^2/4 pour l'exponentielle

ah oui... c'est ça de faire des copier/coller sans regarder...

Dans mon cas j'ai :

lim (en 0) de [ 2/sin(x) - 1/(1 - cos(x)) ]

Où est-ce que je vois concrètement l'ordre à appliquer ?

Tu ne le vois pas, tu le découvres.

Tu essaies l'ordre 1, et si ce n'est pas assez tu passes à l'ordre 2, etc.

D'accord !
Donc tant que ça reste sous forme indéterminée, je passe à l'ordre suivant donc.

Y a-t-il un moment où on peut dire que c'est plus possible ?
(Pour éviter de se taper 50 ordres quoi).

P'tit up!

Demain j'ai mon CC.