Bonjour à tous !

On me donne l'énoncé suivant :

On considère trois nombres complexes x, y et z de module 1 et tels que x + y + z = 1 et xyz = 1.

Il faut que je démontre que (1/x) + (1/y) + (1/z) = 1.

Je ne sais vraiment pas comment commencer... Des idées ?

Fonctions symétriques élémentaires.

Bonsoir,

Comme x, y et z sont de module 1 on a :

(1/x) = conj(x) (conjugué de x)
(1/y) = conj(y)
(1/z) = conj(z)

Donc :

(1/x)+(1/y)+(1/z)
=conj(x) + conj(y) + conj(z)
=conj(x+y+z)
=conj(1) (d'après la relation x+y+z=1)
=1

La condition xyz=1 est inutile.

Eh bien la condition xyz = 1 me sert dans la question 2 où je dois trouver les triplets qui vérifient les conditions de l'énoncé, en m'aidant de la relation (1/x)+(1/y)+(1/z)=1.
Je dois avouer que je sèche, je n'ai trouvé que arg(x)+arg(y)+arg(z)=0, ça ne m'aide pas beaucoup...

Cependant, merci pour vos réponses ; j'ai retrouvé la réponse (qui m'avait subrepticement échappé ^^) peu de temps après avoir posté le message. Mais la seconde question me pose des soucis. Des idées là aussi ?

Comme (1/x)+(1/y)+(1/z)=1 et xyz=1, on a en réduisant au même dénominateur xy+xz+yz=1.

Ainsi :
x+y+z=1
xy+xz+yz=1
xyz=1

Si tu as fait les fonctions symétriques élémentaires, tu en déduis que x, y et z sont les 3 racines du polynôme :

P(X)= X^3-X^2+X-1
=X^2(X-1)+X-1
=(X-1)(X^2+1)

P a donc pour racines 1, i et -i.

Voilà les 3 nombres cherchés.

J'ai pas encore fait les fonctions symétriques...

« Si tu as fait les fonctions symétriques élémentaires, tu en déduis que x, y et z sont les 3 racines du polynôme » sinon, tu développes bêtement (X-x)(X-y)(X-z) et tu en déduis exactement la même chose.